Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Quale algoritmo di ordinamento è stabile?

  1. ASelection sort (versione tipica)
  2. BQuicksort (tipica versione in loco)
  3. CMerge sort
  4. DHeap sort
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Perché qualsiasi ricerca basata su confronti in un array ordinato richiede Ω(log n) confronti nel caso peggiore?

  1. ALa ricerca binaria è l'unico algoritmo possibile e richiede log₂ n confronti
  2. BOgni confronto richiede un tempo logaritmico
  3. CUn albero di decisione con n esiti possibili deve avere profondità almeno log₂ n
  4. DOgni elemento deve essere confrontato almeno una volta
3.Strutture datiMedia

Le chiavi 50, 30, 70, 20, 40 vengono inserite in quest'ordine in un albero binario di ricerca vuoto. Qual è il figlio sinistro di 30?

  1. A50
  2. B20
  3. C40
  4. D70
4.Strutture datiDifficile

Un albero di Fenwick (binary indexed tree) su un array di n numeri supporta quali operazioni in O(log n)?

  1. AInserimento di elementi in qualsiasi posizione
  2. BRicerca della mediana in O(1)
  3. CInterrogazioni di somme prefisse e aggiornamenti di singoli elementi
  4. DOrdinamento dell'array e ricerca binaria
5.Teoria dei grafiMedia

Un grafo connesso ha 6 vertici e 9 lati. Quanti lati k vanno tolti per ottenere un albero di copertura?

|V| = 6|E| = 9
k =
6.Teoria dei grafiDifficile
154141413196ABCDEF

L’algoritmo di Dijkstra parte da A. Clicca il vertice che viene fissato (reso permanente) al passo 5; A stesso è il passo 1.

partenza: Apasso 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: C · Merge sort

Perché è questa la risposta

Il merge sort è stabile se, in caso di parità, la fusione prende prima dalla metà sinistra. Il quicksort in loco, l'heap sort e il selection sort di solito non sono stabili.

Risposta

C · Merge sort
2.Algoritmi e complessità

Risposta: C · Un albero di decisione con n esiti possibili deve avere profondità almeno log₂ n

Perché è questa la risposta

Ogni confronto al massimo dimezza l'insieme delle possibilità rimanenti, quindi distinguere n posizioni richiede almeno log₂ n confronti.

Risposta

C · Un albero di decisione con n esiti possibili deve avere profondità almeno log₂ n
3.Strutture dati

Risposta: B · 20

Perché è questa la risposta

20 è minore di 50 e minore di 30, quindi diventa il figlio sinistro di 30; 40 diventa il suo figlio destro.

Risposta

B · 20
4.Strutture dati

Risposta: C · Interrogazioni di somme prefisse e aggiornamenti di singoli elementi

Perché è questa la risposta

Un albero di Fenwick memorizza somme parziali su intervalli determinati dai bit meno significativi di ogni indice, quindi sia le somme prefisse sia gli aggiornamenti puntuali richiedono O(log n).

Risposta

C · Interrogazioni di somme prefisse e aggiornamenti di singoli elementi
5.Teoria dei grafi

Risposta: k = 4

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Lati di un albero di copertura

6 − 1 = 5

Lati da togliere

k = 9 − 5 = 4

Risposta

k = 4
6.Teoria dei grafi

Risposta: D

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Dijkstra passo per passo

1. A (0): B: 15, C: 4
2. C (4)
3. B (15): D: 29, E: 21
4. E (21): F: 30
5. D (29)
6. F (30)

passo 5

D

Risposta

D

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