Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Qual è la complessità temporale dell'algoritmo standard di programmazione dinamica per la sottosequenza comune più lunga di stringhe di lunghezze m e n?

  1. AO(2m+n)
  2. BO(m + n)
  3. CO(mn log n)
  4. DO(mn)
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Per dimostrare che un nuovo problema X è NP-difficile, che cosa devi fare?

  1. ADimostrare che X non ha un algoritmo polinomiale per input piccoli
  2. BRidurre in tempo polinomiale X a un problema NP-difficile noto
  3. CDimostrare che X si può verificare in tempo polinomiale
  4. DRidurre in tempo polinomiale un problema NP-difficile noto a X
3.Strutture datiMedia

Perché un heap binario si può memorizzare in un array senza puntatori?

  1. AGli heap non contengono mai più di 100 elementi
  2. BTutte le chiavi di un heap sono uguali
  3. CÈ un albero binario completo, quindi le posizioni seguono semplici formule sugli indici
  4. DGli array mantengono automaticamente le chiavi in ordine, quindi non servono puntatori
4.Strutture datiDifficile

Nell'ipotesi di hashing uniforme semplice, qual è il tempo atteso di una ricerca in una tabella hash con concatenamento, n chiavi e m bucket?

  1. AO(log n)
  2. BO(m)
  3. CO(1 + α), dove α = n / m
  4. DO(n)
5.Teoria dei grafiMedia

Quanti cicli hamiltoniani diversi H ha il grafo completo K8? I cicli che differiscono solo per il vertice iniziale o per il verso contano come lo stesso.

K8
H =
6.Teoria dei grafiDifficile
18149135167ABCDE

L’algoritmo di Prim costruisce un albero di copertura minimo a partire dal vertice D. Clicca il lato che aggiunge come lato numero 2.

partenza: Dk = 2
  1. 1lato AB
  2. 2lato AC
  3. 3lato BC
  4. 4lato BD
  5. 5lato CE
  6. 6lato DE
  7. 7lato BE

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: D · O(mn)

Perché è questa la risposta

La tabella ha (m + 1)(n + 1) celle e ciascuna si calcola in O(1) dalle vicine.

Risposta

D · O(mn)
2.Algoritmi e complessità

Risposta: D · Ridurre in tempo polinomiale un problema NP-difficile noto a X

Perché è questa la risposta

Se un problema difficile noto può essere trasformato efficientemente in X, un algoritmo veloce per X risolverebbe anche il problema noto.

Risposta

D · Ridurre in tempo polinomiale un problema NP-difficile noto a X
3.Strutture dati

Risposta: C · È un albero binario completo, quindi le posizioni seguono semplici formule sugli indici

Perché è questa la risposta

La completezza significa che non ci sono buchi, quindi i figli dell'indice i si trovano sempre a 2i + 1 e 2i + 2.

Risposta

C · È un albero binario completo, quindi le posizioni seguono semplici formule sugli indici
4.Strutture dati

Risposta: C · O(1 + α), dove α = n / m

Perché è questa la risposta

Calcolare l'hash costa O(1) e la lunghezza attesa della catena è α, quindi mantenere α limitato tramite il ridimensionamento dà un tempo atteso O(1).

Risposta

C · O(1 + α), dove α = n / m
5.Teoria dei grafi

Risposta: H = 2520

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Conta

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

Risposta

H = 2520
6.Teoria dei grafi

Risposta: lato BE

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Algoritmo di Prim

1. BD (13)
2. BE (7)
3. CE (5)
4. AC (14)

lato numero 2

BE

Risposta

lato BE

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