Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Ordini una volta un array di n elementi e poi rispondi a k query di appartenenza con la ricerca binaria. Qual è il costo totale?

  1. AO(n + k)
  2. BO(nk)
  3. CO(k n log n)
  4. DO(n log n + k log n)
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Quale affermazione su P e NP è corretta?

  1. AÈ stato dimostrato che P ≠ NP
  2. BOgni problema in P appartiene anche a NP
  3. CLe soluzioni dei problemi NP non possono essere verificate rapidamente
  4. DNP significa «non polinomiale»
3.Strutture datiMedia

Come si inserisce un nuovo elemento in un heap binario?

  1. ALo si pone nella radice e lo si fa scendere
  2. BLo si inserisce nella posizione ordinata spostando di un posto a destra tutti gli elementi più grandi
  3. CSi ricostruisce da zero l'intero heap
  4. DLo si pone alla fine dell'array e lo si fa risalire finché viola la proprietà di heap
4.Strutture datiDifficile

Quale struttura dati permette una cache LRU (least recently used) con get e put in O(1)?

  1. AUn singolo array ordinato
  2. BSolo un albero binario di ricerca
  3. CUna hash map combinata con una lista doppiamente concatenata
  4. DSolo uno stack
5.Teoria dei grafiMedia

Un grafo connesso ha 18 vertici e 21 lati. Quanti lati k vanno tolti per ottenere un albero di copertura?

|V| = 18|E| = 21
k =
6.Teoria dei grafiDifficile
410411138512ABCDEF

Usa l’algoritmo di Dijkstra per trovare la lunghezza d(F) del cammino minimo da A a F nel grafo pesato.

partenza: Aarrivo: F
d(F) =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: D · O(n log n + k log n)

Perché è questa la risposta

L'ordinamento costa O(n log n) e ogni query O(log n); questo batte k scansioni lineari (O(nk)) quando k è grande.

Risposta

D · O(n log n + k log n)
2.Algoritmi e complessità

Risposta: B · Ogni problema in P appartiene anche a NP

Perché è questa la risposta

P ⊆ NP: se puoi risolvere un problema rapidamente, puoi verificarne rapidamente una soluzione. Se P = NP è ancora una questione aperta.

Risposta

B · Ogni problema in P appartiene anche a NP
3.Strutture dati

Risposta: D · Lo si pone alla fine dell'array e lo si fa risalire finché viola la proprietà di heap

Perché è questa la risposta

Aggiungere alla fine mantiene l'albero completo; gli scambi con il genitore ripristinano l'ordine in O(log n) passi.

Risposta

D · Lo si pone alla fine dell'array e lo si fa risalire finché viola la proprietà di heap
4.Strutture dati

Risposta: C · Una hash map combinata con una lista doppiamente concatenata

Perché è questa la risposta

La hash map trova i nodi in O(1) e la lista doppiamente concatenata sposta in testa gli elementi acceduti ed espelle dal fondo in O(1).

Risposta

C · Una hash map combinata con una lista doppiamente concatenata
5.Teoria dei grafi

Risposta: k = 4

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Lati di un albero di copertura

18 − 1 = 17

Lati da togliere

k = 21 − 17 = 4

Risposta

k = 4
6.Teoria dei grafi

Risposta: d(F) = 20

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Dijkstra passo per passo

Ogni riga: il vertice fissato, la sua distanza definitiva e i vertici adiacenti la cui distanza migliora.

A (0): C: 4
C (4): B: 14, E: 15
B (14): D: 18
E (15): F: 20
D (18)
F (20)

Cammino minimo

A → C → E → F
d(F) = 20

Risposta

d(F) = 20

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