Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Ordini una volta un array di n elementi e poi rispondi a k query di appartenenza con la ricerca binaria. Qual è il costo totale?

  1. AO(k n log n)
  2. BO(n + k)
  3. CO(n log n + k log n)
  4. DO(nk)
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Che cosa seguirebbe se qualcuno trovasse un algoritmo in tempo polinomiale per un problema NP-completo?

  1. AOgni problema in NP si potrebbe risolvere in tempo polinomiale, quindi P = NP
  2. BIl problema della fermata diventerebbe decidibile
  3. CTutti gli algoritmi a tempo esponenziale diventerebbero subito lineari
  4. DSolo quel problema passerebbe in P
3.Strutture datiMedia

Come si trova la chiave minima in un albero binario di ricerca?

  1. ASi seguono i figli destri dalla radice finché non c'è più un figlio destro
  2. BSi guarda solo la radice
  3. CSi visitano tutte le foglie e le si confronta
  4. DSi seguono i figli sinistri dalla radice finché non c'è più un figlio sinistro
4.Strutture datiDifficile

Nel BST con radice 50, sottoalbero sinistro 30 (figli 20, 40) e sottoalbero destro 70 (figli 60, 80), la radice viene eliminata usando il successore in ordine. Quale chiave diventa la nuova radice?

  1. A80
  2. B70
  3. C60
  4. D40
5.Teoria dei grafiMedia

Un grafo connesso ha 11 vertici e 19 lati. Quanti lati k vanno tolti per ottenere un albero di copertura?

|V| = 11|E| = 19
k =
6.Teoria dei grafiDifficile
ABCDE

Quanti cammini di lunghezza 3 vanno da C a B? Un cammino può ripetere vertici e lati. Chiama il numero N.

M = matrice di adiacenzaL = 3
N =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: C · O(n log n + k log n)

Perché è questa la risposta

L'ordinamento costa O(n log n) e ogni query O(log n); questo batte k scansioni lineari (O(nk)) quando k è grande.

Risposta

C · O(n log n + k log n)
2.Algoritmi e complessità

Risposta: A · Ogni problema in NP si potrebbe risolvere in tempo polinomiale, quindi P = NP

Perché è questa la risposta

Poiché tutto NP si riduce in tempo polinomiale a qualsiasi problema NP-completo, un algoritmo veloce per uno fornisce un algoritmo veloce per tutti.

Risposta

A · Ogni problema in NP si potrebbe risolvere in tempo polinomiale, quindi P = NP
3.Strutture dati

Risposta: D · Si seguono i figli sinistri dalla radice finché non c'è più un figlio sinistro

Perché è questa la risposta

Il nodo più a sinistra non ha chiavi minori nell'albero, quindi è il minimo; il costo è proporzionale all'altezza.

Risposta

D · Si seguono i figli sinistri dalla radice finché non c'è più un figlio sinistro
4.Strutture dati

Risposta: C · 60

Perché è questa la risposta

Il nodo più a sinistra del sottoalbero destro è 60, quindi 60 sostituisce 50 e la sua vecchia posizione viene rimossa; usando il predecessore si otterrebbe 40.

Risposta

C · 60
5.Teoria dei grafi

Risposta: k = 9

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Lati di un albero di copertura

11 − 1 = 10

Lati da togliere

k = 19 − 10 = 9

Risposta

k = 9
6.Teoria dei grafi

Risposta: N = 6

Gradi: il grado di un vertice è il numero di lati che vi arrivano. Ogni lato ha due estremi, quindi i gradi sommano al doppio del numero di lati: Σ deg(v) = 2|E| (il lemma delle strette di mano). Il numero di vertici di grado dispari è quindi pari. Kn ha n(n − 1)/2 lati, un grafo k-regolare con n vertici ne ha nk/2, e un albero con n vertici ha n − 1 lati.

Matrice di adiacenza

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 0
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 0 1 1 0

Un altro passo

(M³)CB = 1·1 + 1·0 + 3·1 + 2·1 + 0·0 = 6

Risposta

N = 6

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