Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Che cosa calcola l'algoritmo di Floyd–Warshall, e con quale velocità?

  1. AI cammini minimi da un vertice sorgente a tutti gli altri in O(V + E)
  2. BI cammini minimi tra tutte le coppie di vertici in O(V³)
  3. CUn albero ricoprente minimo in O(E log V)
  4. DUn ordinamento topologico in O(V²)
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Prendere entrambi gli estremi di ogni arco di un matching massimale dà una copertura dei vertici. Quanto è buona questa copertura?

  1. ADi qualità ignota rispetto all'ottimo
  2. BSempre una copertura dei vertici minima
  3. CAl massimo il doppio della dimensione di una copertura dei vertici minima
  4. DAl massimo log n volte il minimo
3.Strutture datiMedia

Quanto tempo serve per verificare se l'arco (u, v) esiste usando una matrice di adiacenza?

  1. AO(E)
  2. BO(V)
  3. CO(log V)
  4. DO(1)
4.Strutture datiDifficile

Quale affermazione sull'heapsort è corretta?

  1. ARichiede tempo O(n) su qualsiasi input
  2. BÈ stabile e richiede O(n) memoria aggiuntiva
  3. CRichiede un albero binario di ricerca come memoria aggiuntiva, quindi usa O(n) memoria extra
  4. DOrdina sul posto in tempo O(n log n) nel caso peggiore ma non è stabile
5.Teoria dei grafiMedia

Un grafo connesso ha 16 vertici e 23 lati. Quanti lati k vanno tolti per ottenere un albero di copertura?

|V| = 16|E| = 23
k =
6.Teoria dei grafiDifficile
15651916102ABCDE

L’algoritmo di Prim costruisce un albero di copertura minimo a partire dal vertice A. Clicca il lato che aggiunge come lato numero 2.

partenza: Ak = 2
  1. 1lato AB
  2. 2lato AC
  3. 3lato BC
  4. 4lato BD
  5. 5lato CE
  6. 6lato DE
  7. 7lato BE

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: B · I cammini minimi tra tutte le coppie di vertici in O(V³)

Perché è questa la risposta

Floyd–Warshall è un algoritmo di programmazione dinamica che ammette a turno ogni vertice come punto intermedio, con tempo O(V³).

Risposta

B · I cammini minimi tra tutte le coppie di vertici in O(V³)
2.Algoritmi e complessità

Risposta: C · Al massimo il doppio della dimensione di una copertura dei vertici minima

Perché è questa la risposta

Gli archi del matching non condividono vertici, quindi l'ottimo ha bisogno di almeno un vertice per arco, mentre questo metodo ne prende due: una 2-approssimazione.

Risposta

C · Al massimo il doppio della dimensione di una copertura dei vertici minima
3.Strutture dati

Risposta: D · O(1)

Perché è questa la risposta

L'elemento della matrice alla riga u, colonna v indica immediatamente se l'arco esiste; con una lista di adiacenza può essere necessario scorrere i vicini di u.

Risposta

D · O(1)
4.Strutture dati

Risposta: D · Ordina sul posto in tempo O(n log n) nel caso peggiore ma non è stabile

Perché è questa la risposta

L'heapsort costruisce un max-heap ed estrae il massimo n volte all'interno dello stesso array; gli scambi a lunga distanza possono riordinare chiavi uguali.

Risposta

D · Ordina sul posto in tempo O(n log n) nel caso peggiore ma non è stabile
5.Teoria dei grafi

Risposta: k = 8

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Lati di un albero di copertura

16 − 1 = 15

Lati da togliere

k = 23 − 15 = 8

Risposta

k = 8
6.Teoria dei grafi

Risposta: lato BC

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Algoritmo di Prim

1. AC (6)
2. BC (5)
3. BE (2)
4. DE (10)

lato numero 2

BC

Risposta

lato BC

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