Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Nel problema della selezione di attività, quale regola greedy dà sempre il numero massimo di attività non sovrapposte?

  1. AScegliere l'attività che inizia prima
  2. BScegliere per prima l'attività con meno sovrapposizioni, poi ripetere con quelle compatibili
  3. CScegliere per prima l'attività più breve
  4. DScegliere l'attività che termina prima, poi ripetere con quelle compatibili
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Per dimostrare che un nuovo problema X è NP-difficile, che cosa devi fare?

  1. ADimostrare che X si può verificare in tempo polinomiale
  2. BDimostrare che X non ha un algoritmo polinomiale per input piccoli
  3. CRidurre in tempo polinomiale un problema NP-difficile noto a X
  4. DRidurre in tempo polinomiale X a un problema NP-difficile noto
3.Strutture datiMedia

Quale struttura dati usa un programma in esecuzione per tenere traccia delle chiamate di funzione attive e delle loro variabili locali?

  1. AUna tabella hash di funzioni
  2. BUn albero binario di ricerca di frame
  3. CLa coda della memoria heap
  4. DLo stack delle chiamate
4.Strutture datiDifficile

Perché una tabella hash funzioni correttamente, quale regola devono rispettare hash e uguaglianza?

  1. AChiavi uguali devono avere valori hash uguali
  2. BI valori hash devono essere numeri primi
  3. CChiavi diverse devono avere valori hash diversi
  4. DValori hash uguali implicano chiavi uguali
5.Teoria dei grafiMedia

Un grafo connesso ha 7 vertici e 8 lati. Quanti lati k vanno tolti per ottenere un albero di copertura?

|V| = 7|E| = 8
k =
6.Teoria dei grafiDifficile
151115714111111ABCDEF

L’algoritmo di Dijkstra parte da A. Clicca il vertice che viene fissato (reso permanente) al passo 5; A stesso è il passo 1.

partenza: Apasso 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: D · Scegliere l'attività che termina prima, poi ripetere con quelle compatibili

Perché è questa la risposta

Si può dimostrare con un argomento di scambio che scegliere il tempo di fine più precoce è ottimo; le altre regole hanno controesempi.

Risposta

D · Scegliere l'attività che termina prima, poi ripetere con quelle compatibili
2.Algoritmi e complessità

Risposta: C · Ridurre in tempo polinomiale un problema NP-difficile noto a X

Perché è questa la risposta

Se un problema difficile noto può essere trasformato efficientemente in X, un algoritmo veloce per X risolverebbe anche il problema noto.

Risposta

C · Ridurre in tempo polinomiale un problema NP-difficile noto a X
3.Strutture dati

Risposta: D · Lo stack delle chiamate

Perché è questa la risposta

Ogni chiamata inserisce un record di attivazione (stack frame) e ogni ritorno lo estrae, ed è per questo che la chiamata più recente termina per prima.

Risposta

D · Lo stack delle chiamate
4.Strutture dati

Risposta: A · Chiavi uguali devono avere valori hash uguali

Perché è questa la risposta

Se due chiavi uguali avessero hash diversi verrebbero memorizzate in bucket diversi e le ricerche fallirebbero; chiavi diverse possono invece condividere un hash.

Risposta

A · Chiavi uguali devono avere valori hash uguali
5.Teoria dei grafi

Risposta: k = 2

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Lati di un albero di copertura

7 − 1 = 6

Lati da togliere

k = 8 − 6 = 2

Risposta

k = 2
6.Teoria dei grafi

Risposta: E

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Dijkstra passo per passo

1. A (0): B: 15, C: 11
2. C (11): E: 25
3. B (15): D: 22
4. D (22): F: 33
5. E (25)
6. F (33)

passo 5

E

Risposta

E

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