Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Quale algoritmo di ordinamento è stabile?

  1. AHeap sort
  2. BSelection sort (versione tipica)
  3. CQuicksort (tipica versione in loco)
  4. DMerge sort
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Qual è la complessità temporale della costruzione di un heap binario da n elementi non ordinati con il metodo bottom-up?

  1. AO(log n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n)
  4. DO(n²)
3.Strutture datiMedia

A che cosa serve un nodo sentinella (fittizio) in una lista concatenata?

  1. AA impedire che la lista cresca oltre un numero massimo fisso di nodi
  2. BA rendere la lista ordinata
  3. CA memorizzare il numero di elementi
  4. DA semplificare il codice eliminando i casi particolari in testa o in coda
4.Strutture datiDifficile

Un array dinamico raddoppia quando è pieno. Perché molte implementazioni lo riducono solo quando è pieno per un quarto, e non per metà?

  1. APerché dimezzare a metà farebbe perdere elementi
  2. BPer mantenere l'array ordinato
  3. CPer evitare ridimensionamenti ripetuti quando push e pop si alternano vicino alla soglia
  4. DPerché l'allocatore di memoria può liberare memoria solo a quarti di blocco
5.Teoria dei grafiMedia

Quanti cicli hamiltoniani diversi H ha il grafo completo K4? I cicli che differiscono solo per il vertice iniziale o per il verso contano come lo stesso.

K4
H =
6.Teoria dei grafiDifficile
1077641128915ABCDEFG

Usa l’algoritmo di Dijkstra per trovare la lunghezza d(G) del cammino minimo da A a G nel grafo pesato.

partenza: Aarrivo: G
d(G) =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: D · Merge sort

Perché è questa la risposta

Il merge sort è stabile se, in caso di parità, la fusione prende prima dalla metà sinistra. Il quicksort in loco, l'heap sort e il selection sort di solito non sono stabili.

Risposta

D · Merge sort
2.Algoritmi e complessità

Risposta: C · O(n)

Perché è questa la risposta

Sommando i costi di discesa (sift-down) su tutti i livelli si ottiene una serie convergente, quindi heapify viene eseguito in tempo lineare.

Risposta

C · O(n)
3.Strutture dati

Risposta: D · A semplificare il codice eliminando i casi particolari in testa o in coda

Perché è questa la risposta

Con una sentinella ogni nodo reale ha un predecessore, quindi inserire o eliminare in testa non richiede una gestione speciale.

Risposta

D · A semplificare il codice eliminando i casi particolari in testa o in coda
4.Strutture dati

Risposta: C · Per evitare ridimensionamenti ripetuti quando push e pop si alternano vicino alla soglia

Perché è questa la risposta

Ridurre a metà potrebbe provocare un ridimensionamento a ogni operazione in una sequenza del genere; il margine tra 1/4 e pieno mantiene il costo ammortizzato O(1).

Risposta

C · Per evitare ridimensionamenti ripetuti quando push e pop si alternano vicino alla soglia
5.Teoria dei grafi

Risposta: H = 3

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Conta

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

Risposta

H = 3
6.Teoria dei grafi

Risposta: d(G) = 13

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Dijkstra passo per passo

Ogni riga: il vertice fissato, la sua distanza definitiva e i vertici adiacenti la cui distanza migliora.

A (0): B: 10, C: 7
C (7): E: 11, G: 16
B (10): D: 16
E (11): D: 12
D (12): F: 24, G: 13
G (13)
F (24)

Cammino minimo

A → C → E → D → G
d(G) = 13

Risposta

d(G) = 13

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