Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Qual è la soluzione della ricorrenza T(n) = T(n/2) + O(1)?

  1. AO(n log n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(1)
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Quale affermazione su P e NP è corretta?

  1. AÈ stato dimostrato che P ≠ NP
  2. BLe soluzioni dei problemi NP non possono essere verificate rapidamente
  3. CNP significa «non polinomiale»
  4. DOgni problema in P appartiene anche a NP
3.Strutture datiMedia

Hai un riferimento a un nodo a metà di una lista. In quale lista puoi rimuoverlo in O(1)?

  1. AUn array ordinato
  2. BUna lista concatenata semplice
  3. CUn array dinamico
  4. DUna lista doppiamente concatenata
4.Strutture datiDifficile

Come si può rilevare se una lista concatenata semplice contiene un ciclo usando O(1) memoria aggiuntiva?

  1. ASi memorizza ogni nodo visitato in un hash set
  2. BSi ordina la lista e si cercano i duplicati
  3. CSi contano i nodi finché il conteggio supera il campo lunghezza della lista
  4. DSi muove un puntatore di un passo e un altro di due passi e si verifica se si incontrano
5.Teoria dei grafiMedia
ABCDEFGCircuito eulerianoCammino euleriano, nessun circuitonessuna delle due

Il grafo connesso ha un circuito euleriano, un cammino euleriano che non è un circuito, oppure nessuno dei due? Clicca la tua risposta.

|V| = 7|E| = 10
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Cammino euleriano, nessun circuito
  3. 3nessuna delle due
6.Teoria dei grafiDifficile
31315810111514ABCDEF

Usa l’algoritmo di Dijkstra per trovare la lunghezza d(F) del cammino minimo da A a F nel grafo pesato.

partenza: Aarrivo: F
d(F) =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: B · O(log n)

Perché è questa la risposta

Il problema si dimezza a ogni passo con lavoro costante per passo, quindi ci sono circa log₂ n passi.

Risposta

B · O(log n)
2.Algoritmi e complessità

Risposta: D · Ogni problema in P appartiene anche a NP

Perché è questa la risposta

P ⊆ NP: se puoi risolvere un problema rapidamente, puoi verificarne rapidamente una soluzione. Se P = NP è ancora una questione aperta.

Risposta

D · Ogni problema in P appartiene anche a NP
3.Strutture dati

Risposta: D · Una lista doppiamente concatenata

Perché è questa la risposta

Un nodo doppiamente concatenato conosce il suo predecessore, quindi si possono ricollegare direttamente prev e next; in una lista concatenata semplice occorre cercare il predecessore.

Risposta

D · Una lista doppiamente concatenata
4.Strutture dati

Risposta: D · Si muove un puntatore di un passo e un altro di due passi e si verifica se si incontrano

Perché è questa la risposta

Nell'algoritmo di Floyd, se c'è un ciclo il puntatore veloce prima o poi raggiunge quello lento; altrimenti il puntatore veloce arriva a null.

Risposta

D · Si muove un puntatore di un passo e un altro di due passi e si verifica se si incontrano
5.Teoria dei grafi

Risposta: nessuna delle due

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Gradi

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 4, deg(D) = 3, deg(E) = 3, deg(F) = 2, deg(G) = 3

Vertici dispari

B, D, E, G → 4
nessuna delle due

Risposta

nessuna delle due
6.Teoria dei grafi

Risposta: d(F) = 32

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Dijkstra passo per passo

Ogni riga: il vertice fissato, la sua distanza definitiva e i vertici adiacenti la cui distanza migliora.

A (0): B: 3, C: 13
B (3): E: 17
C (13)
E (17): D: 27, F: 32
D (27)
F (32)

Cammino minimo

A → B → E → F
d(F) = 32

Risposta

d(F) = 32

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