Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Qual è la soluzione della ricorrenza T(n) = 2T(n/2) + O(1)?

  1. AO(n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(log n)
  4. DO(n²)
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Quale definizione della classe NP è corretta?

  1. AProblemi che nessun algoritmo può risolvere
  2. BProblemi decisionali le cui risposte sì possono essere verificate in tempo polinomiale dato un certificato
  3. CProblemi che non sono polinomiali
  4. DProblemi che non si possono risolvere in tempo polinomiale
3.Strutture datiMedia

Perché un heap binario si può memorizzare in un array senza puntatori?

  1. AGli array mantengono automaticamente le chiavi in ordine, quindi non servono puntatori
  2. BTutte le chiavi di un heap sono uguali
  3. CGli heap non contengono mai più di 100 elementi
  4. DÈ un albero binario completo, quindi le posizioni seguono semplici formule sugli indici
4.Strutture datiDifficile

Quanto tempo serve per cercare una chiave arbitraria in un min-heap binario di n elementi?

  1. AO(n)
  2. BO(log n)
  3. CO(1)
  4. DO(log log n)
5.Teoria dei grafiMedia

Un grafo connesso ha 6 vertici e 16 lati. Quanti lati k vanno tolti per ottenere un albero di copertura?

|V| = 6|E| = 16
k =
6.Teoria dei grafiDifficile
10841716715ABCDE

Trova il peso totale W di un albero di copertura minimo del grafo pesato.

|V| = 5|E| = 7
W =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: A · O(n)

Perché è questa la risposta

Per il teorema dell'esperto (master theorem) nlog₂ 2 = n domina il lavoro costante, quindi T(n) = Θ(n), come quando si trova il massimo dividendo a metà.

Risposta

A · O(n)
2.Algoritmi e complessità

Risposta: B · Problemi decisionali le cui risposte sì possono essere verificate in tempo polinomiale dato un certificato

Perché è questa la risposta

Per un problema NP, una soluzione proposta (certificato) può essere controllata rapidamente, per esempio verificando che un dato assegnamento soddisfi una formula booleana.

Risposta

B · Problemi decisionali le cui risposte sì possono essere verificate in tempo polinomiale dato un certificato
3.Strutture dati

Risposta: D · È un albero binario completo, quindi le posizioni seguono semplici formule sugli indici

Perché è questa la risposta

La completezza significa che non ci sono buchi, quindi i figli dell'indice i si trovano sempre a 2i + 1 e 2i + 2.

Risposta

D · È un albero binario completo, quindi le posizioni seguono semplici formule sugli indici
4.Strutture dati

Risposta: A · O(n)

Perché è questa la risposta

Un heap non fornisce alcuna regola su quale sottoalbero contenga una chiave, quindi nel caso peggiore bisogna controllare tutti i nodi; solo il minimo si trova rapidamente.

Risposta

A · O(n)
5.Teoria dei grafi

Risposta: k = 11

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Lati di un albero di copertura

6 − 1 = 5

Lati da togliere

k = 16 − 5 = 11

Risposta

k = 11
6.Teoria dei grafi

Risposta: W = 34

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Algoritmo di Kruskal

BC (4): prendi
DE (7): prendi
AC (8): prendi
AB (10): salta, chiude un ciclo
BE (15): prendi

Peso totale

W = 4 + 7 + 8 + 15 = 34

Risposta

W = 34

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