Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Quale affermazione su una funzione ricorsiva senza un caso base raggiungibile è corretta?

  1. AIl compilatore la trasforma sempre in un ciclo che termina in modo sicuro
  2. BContinua a chiamare se stessa finché lo stack delle chiamate va in overflow
  3. CRestituisce automaticamente 0
  4. DViene eseguita in tempo O(1)
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Come rileva l'algoritmo di Bellman–Ford un ciclo di peso negativo raggiungibile dalla sorgente?

  1. AConta i cicli con una visita in profondità
  2. BDopo V − 1 turni controlla se qualche arco può ancora essere rilassato
  3. CEsegue due volte l'algoritmo di Dijkstra e confronta i due risultati delle distanze
  4. DControlla se qualche arco ha peso negativo
3.Strutture datiMedia

Qual è il valore dell'espressione postfissa 3 4 + 2 * ?

  1. A11
  2. B14
  3. C10
  4. D24
4.Strutture datiDifficile

Qual è il tempo di esecuzione della visita in ampiezza (BFS) su un grafo con V vertici memorizzato come matrice di adiacenza?

  1. AO(V²)
  2. BO(V + E)
  3. CO(V)
  4. DO(E log V)
5.Teoria dei grafiMedia

Un albero ha 3 vertici di grado 4, 4 vertici di grado 2, e tutti gli altri suoi vertici sono foglie (grado 1). Quante foglie L ha?

3 × deg 44 × deg 2
L =
6.Teoria dei grafiDifficile
275415138ABCDE

Trova il peso totale W di un albero di copertura minimo del grafo pesato.

|V| = 5|E| = 7
W =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: B · Continua a chiamare se stessa finché lo stack delle chiamate va in overflow

Perché è questa la risposta

Senza caso base la ricorsione non si ferma mai; in pratica la memoria per gli stack frame si esaurisce e il programma va in crash.

Risposta

B · Continua a chiamare se stessa finché lo stack delle chiamate va in overflow
2.Algoritmi e complessità

Risposta: B · Dopo V − 1 turni controlla se qualche arco può ancora essere rilassato

Perché è questa la risposta

Tutte le vere distanze minime si trovano entro V − 1 turni; se un arco può ancora essere migliorato, deve esistere un ciclo negativo.

Risposta

B · Dopo V − 1 turni controlla se qualche arco può ancora essere rilassato
3.Strutture dati

Risposta: B · 14

Perché è questa la risposta

Push di 3 e 4, + dà 7; push di 2, * dà 7 × 2 = 14.

Risposta

B · 14
4.Strutture dati

Risposta: A · O(V²)

Perché è questa la risposta

Ognuno dei V vertici scorre una riga di V elementi, per un totale di O(V²); con le liste di adiacenza la BFS è O(V + E).

Risposta

A · O(V²)
5.Teoria dei grafi

Risposta: L = 8

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Lemma delle strette di mano per un albero

L + 20 = 2(L + 7) − 2
L = 8

Risposta

L = 8

Scorciatoia: L = 2 + Σ (d − 2) sui vertici di grado d ≥ 3.

6.Teoria dei grafi

Risposta: W = 19

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Algoritmo di Kruskal

AB (2): prendi
BD (4): prendi
BC (5): prendi
AC (7): salta, chiude un ciclo
BE (8): prendi

Peso totale

W = 2 + 4 + 5 + 8 = 19

Risposta

W = 19

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