Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Qual è la soluzione della ricorrenza T(n) = T(n/2) + O(1)?

  1. AO(n)
  2. BO(1)
  3. CO(n log n)
  4. DO(log n)
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Che cosa ha stabilito il teorema di Cook–Levin?

  1. AIl problema della soddisfacibilità booleana (SAT) è NP-completo
  2. BP è diverso da NP
  3. CIl problema della fermata è indecidibile
  4. DOgni problema NP si può risolvere in tempo esponenziale
3.Strutture datiMedia

Quale condizione di bilanciamento mantiene un albero AVL in ogni nodo?

  1. AOgni nodo è colorato di rosso o di nero
  2. BI due sottoalberi di ogni nodo contengono esattamente lo stesso numero di nodi
  3. CLe altezze dei sottoalberi sinistro e destro differiscono al massimo di 1
  4. DTutte le foglie sono esattamente alla stessa profondità
4.Strutture datiDifficile

Un segment tree (albero dei segmenti) è tipicamente usato per:

  1. ARispondere a interrogazioni su intervalli (come somme su intervalli) e aggiornamenti in O(log n)
  2. BOrdinare stringhe alfabeticamente memorizzando ogni prefisso in un nodo separato dell'albero
  3. CMemorizzare gli archi di un grafo
  4. DImplementare uno stack
5.Teoria dei grafiMedia
ABCDEFCircuito eulerianoCammino euleriano, nessun circuitonessuna delle due

Il grafo connesso ha un circuito euleriano, un cammino euleriano che non è un circuito, oppure nessuno dei due? Clicca la tua risposta.

|V| = 6|E| = 7
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Cammino euleriano, nessun circuito
  3. 3nessuna delle due
6.Teoria dei grafiDifficile
ABCDEF

Quanti cammini chiusi di lunghezza 2 partono e terminano in F? Un cammino può ripetere vertici e lati. Chiama il numero N.

M = matrice di adiacenzaL = 2
N =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: D · O(log n)

Perché è questa la risposta

Il problema si dimezza a ogni passo con lavoro costante per passo, quindi ci sono circa log₂ n passi.

Risposta

D · O(log n)
2.Algoritmi e complessità

Risposta: A · Il problema della soddisfacibilità booleana (SAT) è NP-completo

Perché è questa la risposta

Cook e Levin dimostrarono indipendentemente che ogni problema in NP si riduce a SAT in tempo polinomiale, quindi SAT fu il primo problema NP-completo noto.

Risposta

A · Il problema della soddisfacibilità booleana (SAT) è NP-completo
3.Strutture dati

Risposta: C · Le altezze dei sottoalberi sinistro e destro differiscono al massimo di 1

Perché è questa la risposta

Il fattore di bilanciamento (altezza sinistra − altezza destra) deve essere −1, 0 o 1; le rotazioni lo ripristinano dopo inserimenti e cancellazioni.

Risposta

C · Le altezze dei sottoalberi sinistro e destro differiscono al massimo di 1
4.Strutture dati

Risposta: A · Rispondere a interrogazioni su intervalli (come somme su intervalli) e aggiornamenti in O(log n)

Perché è questa la risposta

Un segment tree memorizza valori aggregati per intervalli, supportando interrogazioni su intervalli e aggiornamenti puntuali in tempo O(log n).

Risposta

A · Rispondere a interrogazioni su intervalli (come somme su intervalli) e aggiornamenti in O(log n)
5.Teoria dei grafi

Risposta: Cammino euleriano, nessun circuito

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Gradi

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 3, deg(F) = 1

Vertici dispari

E, F → 2
Cammino euleriano, nessun circuito

Risposta

Cammino euleriano, nessun circuito

Il cammino euleriano parte da un vertice dispari e termina nell’altro.

6.Teoria dei grafi

Risposta: N = 1

Gradi: il grado di un vertice è il numero di lati che vi arrivano. Ogni lato ha due estremi, quindi i gradi sommano al doppio del numero di lati: Σ deg(v) = 2|E| (il lemma delle strette di mano). Il numero di vertici di grado dispari è quindi pari. Kn ha n(n − 1)/2 lati, un grafo k-regolare con n vertici ne ha nk/2, e un albero con n vertici ha n − 1 lati.

Matrice di adiacenza

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 0 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 0 1 1 0 0
F: 0 0 0 1 0 0

Vicini comuni

(M²)FF = 0·0 + 0·0 + 0·0 + 1·1 + 0·0 + 0·0 = 1

Risposta

N = 1

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