Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Circa quanti confronti richiede nel caso peggiore la ricerca binaria su un array ordinato di 1,000,000 di elementi?

  1. ACirca 100
  2. BCirca 1,000
  3. CCirca 20
  4. DCirca 500,000
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Qual è il costo ammortizzato dell'incremento di un contatore binario, dato che un incremento può invertire molti bit?

  1. AO(1) per incremento
  2. BO(log n) per incremento
  3. CO(n) per incremento
  4. DO(n log n) per incremento
3.Strutture datiMedia

Perché in pratica percorrere un array è spesso molto più veloce che percorrere una lista concatenata della stessa lunghezza?

  1. ALa visita di un array è O(1) in totale, mentre quella di una lista concatenata è O(n)
  2. BGli elementi dell'array sono contigui, quindi sfruttano bene la cache della CPU
  3. CGli array usano meno istruzioni per confrontare i valori
  4. DLe liste concatenate memorizzano sempre gli elementi su disco
4.Strutture datiDifficile

Nell'ipotesi di hashing uniforme semplice, qual è il tempo atteso di una ricerca in una tabella hash con concatenamento, n chiavi e m bucket?

  1. AO(1 + α), dove α = n / m
  2. BO(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(m)
5.Teoria dei grafiMedia
ABCDECircuito eulerianoCammino euleriano, nessun circuitonessuna delle due

Il grafo connesso ha un circuito euleriano, un cammino euleriano che non è un circuito, oppure nessuno dei due? Clicca la tua risposta.

|V| = 5|E| = 5
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Cammino euleriano, nessun circuito
  3. 3nessuna delle due
6.Teoria dei grafiDifficile
1110631311934ABCDEFG

L’algoritmo di Dijkstra parte da A. Clicca il vertice che viene fissato (reso permanente) al passo 3; A stesso è il passo 1.

partenza: Apasso 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: C · Circa 20

Perché è questa la risposta

220 ≈ 1,048,576, quindi dopo circa 20 dimezzamenti resta un solo elemento.

Risposta

C · Circa 20
2.Algoritmi e complessità

Risposta: A · O(1) per incremento

Perché è questa la risposta

Su n incrementi il bit i si inverte circa n / 2ⁱ volte, quindi il totale è inferiore a 2n inversioni, in media O(1) ciascuno.

Risposta

A · O(1) per incremento
3.Strutture dati

Risposta: B · Gli elementi dell'array sono contigui, quindi sfruttano bene la cache della CPU

Perché è questa la risposta

La memoria contigua offre una buona località dei riferimenti, mentre i nodi collegati possono essere sparsi e causare molti cache miss.

Risposta

B · Gli elementi dell'array sono contigui, quindi sfruttano bene la cache della CPU
4.Strutture dati

Risposta: A · O(1 + α), dove α = n / m

Perché è questa la risposta

Calcolare l'hash costa O(1) e la lunghezza attesa della catena è α, quindi mantenere α limitato tramite il ridimensionamento dà un tempo atteso O(1).

Risposta

A · O(1 + α), dove α = n / m
5.Teoria dei grafi

Risposta: Cammino euleriano, nessun circuito

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Gradi

deg(A) = 1, deg(B) = 4, deg(C) = 1, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Vertici dispari

A, C → 2
Cammino euleriano, nessun circuito

Risposta

Cammino euleriano, nessun circuito

Il cammino euleriano parte da un vertice dispari e termina nell’altro.

6.Teoria dei grafi

Risposta: B

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Dijkstra passo per passo

1. A (0): B: 11, C: 10
2. C (10): G: 13
3. B (11): D: 14
4. G (13): E: 17
5. D (14): F: 25
6. E (17)
7. F (25)

passo 3

B

Risposta

B

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