Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Qual è la complessità temporale del calcolo dell'n-esimo numero di Fibonacci con una tabella bottom-up?

  1. AO(n²)
  2. BO(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(2ⁿ)
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Come si classifica il problema del commesso viaggiatore?

  1. ALa versione decisionale è in P ma quella di ottimizzazione è NP-completa
  2. BLa versione decisionale è NP-completa e la versione di ottimizzazione è NP-difficile
  3. CÈ indecidibile
  4. DÈ in P perché l'algoritmo di Dijkstra lo risolve visitando ogni città una sola volta
3.Strutture datiMedia

Un trie (albero dei prefissi) è particolarmente efficiente per:

  1. ATrovare cammini minimi
  2. BOrdinare numeri
  3. CRicerche per prefisso, come il completamento automatico
  4. DMemorizzare matrici
4.Strutture datiDifficile

In una tabella hash con indirizzamento aperto, perché la cancellazione avviene spesso con un marcatore «lapide» (tombstone)?

  1. ARende la tabella ordinata
  2. BLe lapidi velocizzano l'hashing
  3. CSvuotare la posizione potrebbe interrompere la sequenza di scansione di altre chiavi
  4. DLe chiavi cancellate devono essere conservate per sempre per motivi di sicurezza, quindi le posizioni non si possono mai riutilizzare
5.Teoria dei grafiMedia

Un grafo connesso ha 8 vertici e 10 lati. Quanti lati k vanno tolti per ottenere un albero di copertura?

|V| = 8|E| = 10
k =
6.Teoria dei grafiDifficile
21039314494ABCDEFG

L’algoritmo di Dijkstra parte da A. Clicca il vertice che viene fissato (reso permanente) al passo 6; A stesso è il passo 1.

partenza: Apasso 6
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: C · O(n)

Perché è questa la risposta

Riempire la tabella da 0 a n richiede un'addizione per voce, quindi il lavoro è lineare anziché esponenziale.

Risposta

C · O(n)
2.Algoritmi e complessità

Risposta: B · La versione decisionale è NP-completa e la versione di ottimizzazione è NP-difficile

Perché è questa la risposta

"Esiste un giro di lunghezza al massimo k?" è NP-completo; trovare il giro più breve è NP-difficile, perché è almeno altrettanto difficile.

Risposta

B · La versione decisionale è NP-completa e la versione di ottimizzazione è NP-difficile
3.Strutture dati

Risposta: C · Ricerche per prefisso, come il completamento automatico

Perché è questa la risposta

I trie memorizzano le stringhe carattere per carattere lungo i percorsi, quindi ricerche e interrogazioni per prefisso richiedono un tempo proporzionale alla lunghezza della chiave.

Risposta

C · Ricerche per prefisso, come il completamento automatico
4.Strutture dati

Risposta: C · Svuotare la posizione potrebbe interrompere la sequenza di scansione di altre chiavi

Perché è questa la risposta

Se una posizione cancellata diventasse vuota, le ricerche successive potrebbero fermarsi in anticipo e non trovare chiavi collocate più avanti nella catena di scansione.

Risposta

C · Svuotare la posizione potrebbe interrompere la sequenza di scansione di altre chiavi
5.Teoria dei grafi

Risposta: k = 3

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Lati di un albero di copertura

8 − 1 = 7

Lati da togliere

k = 10 − 7 = 3

Risposta

k = 3
6.Teoria dei grafi

Risposta: F

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Dijkstra passo per passo

1. A (0): B: 2
2. B (2): C: 12, G: 6
3. G (6): D: 10
4. D (10): E: 19, F: 13
5. C (12): E: 15
6. F (13)
7. E (15)

passo 6

F

Risposta

F

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