Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Come costruisce l'algoritmo di Prim un albero ricoprente minimo?

  1. AEsegue una visita in ampiezza e conserva l'albero BFS
  2. BRimuove l'arco più costoso finché non restano cicli
  3. CFa crescere un unico albero da un vertice iniziale, aggiungendo l'arco più economico che esce dall'albero
  4. DOrdina tutti gli archi per peso e aggiunge ciascuno di essi a meno che non formi un ciclo nella foresta
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Qual è il tempo di esecuzione dell'algoritmo di Dijkstra con uno heap binario su un grafo con V vertici ed E archi?

  1. AO(V³)
  2. BO((V + E) log V)
  3. CO(V + E)
  4. DO(V × E)
3.Strutture datiMedia

Quanta memoria utilizza una matrice di adiacenza per un grafo con V vertici?

  1. AO(V + E)
  2. BO(log V)
  3. CO(E)
  4. DO(V²)
4.Strutture datiDifficile

Perché i database usano spesso B+-alberi anziché semplici B-alberi per gli indici?

  1. ATutti i record stanno in foglie collegate, il che rende efficienti le scansioni per intervallo
  2. BI B+-alberi non devono essere bilanciati
  3. CI B+-alberi usano nodi interni binari, il che riduce le letture da disco
  4. DI B+-alberi memorizzano i dati solo nella radice
5.Teoria dei grafiMedia

Un grafo connesso ha 17 vertici e 23 lati. Quanti lati k vanno tolti per ottenere un albero di copertura?

|V| = 17|E| = 23
k =
6.Teoria dei grafiDifficile
85181076320ABCDEF

Trova il peso totale W di un albero di copertura minimo del grafo pesato.

|V| = 6|E| = 8
W =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: C · Fa crescere un unico albero da un vertice iniziale, aggiungendo l'arco più economico che esce dall'albero

Perché è questa la risposta

L'algoritmo di Prim, con una coda di priorità degli archi di attraversamento, richiede O(E log V) con uno heap binario.

Risposta

C · Fa crescere un unico albero da un vertice iniziale, aggiungendo l'arco più economico che esce dall'albero
2.Algoritmi e complessità

Risposta: B · O((V + E) log V)

Perché è questa la risposta

Ci sono V operazioni extract-min e fino a E operazioni decrease-key, ciascuna O(log V); uno heap di Fibonacci migliora a O(E + V log V).

Risposta

B · O((V + E) log V)
3.Strutture dati

Risposta: D · O(V²)

Perché è questa la risposta

Una matrice di adiacenza memorizza V × V elementi ed è efficiente per grafi densi; le liste di adiacenza usano O(V + E), meglio per grafi sparsi.

Risposta

D · O(V²)
4.Strutture dati

Risposta: A · Tutti i record stanno in foglie collegate, il che rende efficienti le scansioni per intervallo

Perché è questa la risposta

In un B+-albero i nodi interni servono solo a guidare la ricerca e le foglie sono collegate in ordine di chiave, quindi un'interrogazione su intervallo trova la prima chiave e poi scorre lungo le foglie.

Risposta

A · Tutti i record stanno in foglie collegate, il che rende efficienti le scansioni per intervallo
5.Teoria dei grafi

Risposta: k = 7

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Lati di un albero di copertura

17 − 1 = 16

Lati da togliere

k = 23 − 16 = 7

Risposta

k = 7
6.Teoria dei grafi

Risposta: W = 32

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Algoritmo di Kruskal

EF (3): prendi
AC (5): prendi
DF (6): prendi
DE (7): salta, chiude un ciclo
AB (8): prendi
CE (10): prendi

Peso totale

W = 3 + 5 + 6 + 8 + 10 = 32

Risposta

W = 32

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