Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Perché la programmazione dinamica non dà un vero guadagno di velocità per il merge sort?

  1. AIl merge sort è già O(n)
  2. BI suoi sottoproblemi non si sovrappongono, quindi non c'è nulla da riutilizzare
  3. CIl merge sort non ha una struttura ricorsiva
  4. DLa programmazione dinamica funziona solo sui problemi su grafi, non sugli array
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Perché la ricerca binaria non dà tempo O(log n) su una lista concatenata semplice?

  1. ARaggiungere l'elemento centrale richiede O(n) passi, perché non c'è accesso diretto tramite indice
  2. BLa ricerca binaria richiede almeno il doppio della memoria
  3. CI confronti sui nodi di una lista concatenata sono più lenti
  4. DLe liste concatenate non si possono ordinare
3.Strutture datiMedia

Perché in pratica percorrere un array è spesso molto più veloce che percorrere una lista concatenata della stessa lunghezza?

  1. ALe liste concatenate memorizzano sempre gli elementi su disco
  2. BLa visita di un array è O(1) in totale, mentre quella di una lista concatenata è O(n)
  3. CGli array usano meno istruzioni per confrontare i valori
  4. DGli elementi dell'array sono contigui, quindi sfruttano bene la cache della CPU
4.Strutture datiDifficile

Inserendo una chiave in un albero AVL il sottoalbero sinistro di un nodo diventa troppo alto, e la nuova chiave è finita nel sottoalbero sinistro del suo figlio sinistro (caso sinistra-sinistra). Quale correzione si applica?

  1. AUna singola rotazione a sinistra sul nodo sbilanciato
  2. BLa ricolorazione del nodo e del figlio
  3. CUna rotazione a sinistra sul figlio, poi una rotazione a destra sul nodo
  4. DUna singola rotazione a destra sul nodo sbilanciato
5.Teoria dei grafiMedia

Un albero ha 2 vertici di grado 3, e tutti gli altri suoi vertici sono foglie (grado 1). Quante foglie L ha?

2 × deg 3
L =
6.Teoria dei grafiDifficile
1425176158ABCDE

Trova il peso totale W di un albero di copertura minimo del grafo pesato.

|V| = 5|E| = 7
W =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: B · I suoi sottoproblemi non si sovrappongono, quindi non c'è nulla da riutilizzare

Perché è questa la risposta

Le metà del merge sort sono disgiunte e ciascuna viene risolta una volta; la PD aiuta solo quando i sottoproblemi si ripetono, come in Fibonacci.

Risposta

B · I suoi sottoproblemi non si sovrappongono, quindi non c'è nulla da riutilizzare
2.Algoritmi e complessità

Risposta: A · Raggiungere l'elemento centrale richiede O(n) passi, perché non c'è accesso diretto tramite indice

Perché è questa la risposta

La ricerca binaria richiede accesso O(1) all'elemento centrale; su una lista concatenata arrivarci costa tempo lineare, quindi il totale è O(n).

Risposta

A · Raggiungere l'elemento centrale richiede O(n) passi, perché non c'è accesso diretto tramite indice
3.Strutture dati

Risposta: D · Gli elementi dell'array sono contigui, quindi sfruttano bene la cache della CPU

Perché è questa la risposta

La memoria contigua offre una buona località dei riferimenti, mentre i nodi collegati possono essere sparsi e causare molti cache miss.

Risposta

D · Gli elementi dell'array sono contigui, quindi sfruttano bene la cache della CPU
4.Strutture dati

Risposta: D · Una singola rotazione a destra sul nodo sbilanciato

Perché è questa la risposta

Nel caso sinistra-sinistra una rotazione a destra solleva il figlio sinistro e ripristina il bilanciamento; i casi a zig-zag richiedono una doppia rotazione.

Risposta

D · Una singola rotazione a destra sul nodo sbilanciato
5.Teoria dei grafi

Risposta: L = 4

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Lemma delle strette di mano per un albero

L + 6 = 2(L + 2) − 2
L = 4

Risposta

L = 4

Scorciatoia: L = 2 + Σ (d − 2) sui vertici di grado d ≥ 3.

6.Teoria dei grafi

Risposta: W = 28

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Algoritmo di Kruskal

AC (2): prendi
BC (5): prendi
CE (6): prendi
BE (8): salta, chiude un ciclo
AB (14): salta, chiude un ciclo
DE (15): prendi

Peso totale

W = 2 + 5 + 6 + 15 = 28

Risposta

W = 28

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