Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Qual è la complessità temporale ammortizzata dell'aggiunta in coda a un array dinamico che raddoppia la capacità quando è pieno?

  1. AO(1)
  2. BO(n²)
  3. CO(log n)
  4. DO(n)
2.Algoritmi e complessitàDifficile

L'algoritmo di programmazione dinamica di Held–Karp risolve esattamente il problema del commesso viaggiatore. Qual è il suo tempo di esecuzione per n città?

  1. AO(n² 2ⁿ)
  2. BO(n!)
  3. CO(n³)
  4. DO(2n²)
3.Strutture datiMedia

Quale metodo di risoluzione delle collisioni memorizza le chiavi in collisione in una lista nello stesso bucket?

  1. ADoppio hashing (double hashing)
  2. BScansione quadratica (quadratic probing)
  3. CConcatenamento separato (separate chaining)
  4. DScansione lineare (linear probing)
4.Strutture datiDifficile

Quale struttura dati permette una cache LRU (least recently used) con get e put in O(1)?

  1. AUn singolo array ordinato
  2. BSolo un albero binario di ricerca
  3. CSolo uno stack
  4. DUna hash map combinata con una lista doppiamente concatenata
5.Teoria dei grafiMedia

Un albero ha 4 vertici di grado 4, 3 vertici di grado 2, e tutti gli altri suoi vertici sono foglie (grado 1). Quante foglie L ha?

4 × deg 43 × deg 2
L =
6.Teoria dei grafiDifficile
3412105113111213ABCDEFG

Usa l’algoritmo di Dijkstra per trovare la lunghezza d(F) del cammino minimo da A a F nel grafo pesato.

partenza: Aarrivo: F
d(F) =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: A · O(1)

Perché è questa la risposta

La copia di tutti gli elementi avviene solo alle potenze di due; distribuito su tutte le aggiunte, il costo medio per aggiunta è costante.

Risposta

A · O(1)
2.Algoritmi e complessità

Risposta: A · O(n² 2ⁿ)

Perché è questa la risposta

Ci sono circa n 2ⁿ stati, ciascuno calcolato in O(n); è esponenziale ma molto più veloce che provare tutti gli (n − 1)! giri.

Risposta

A · O(n² 2ⁿ)
3.Strutture dati

Risposta: C · Concatenamento separato (separate chaining)

Perché è questa la risposta

Il concatenamento mantiene una lista concatenata (o un'altra struttura) per ogni bucket; l'indirizzamento aperto cerca un'altra posizione libera all'interno della tabella stessa.

Risposta

C · Concatenamento separato (separate chaining)
4.Strutture dati

Risposta: D · Una hash map combinata con una lista doppiamente concatenata

Perché è questa la risposta

La hash map trova i nodi in O(1) e la lista doppiamente concatenata sposta in testa gli elementi acceduti ed espelle dal fondo in O(1).

Risposta

D · Una hash map combinata con una lista doppiamente concatenata
5.Teoria dei grafi

Risposta: L = 10

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Lemma delle strette di mano per un albero

L + 22 = 2(L + 7) − 2
L = 10

Risposta

L = 10

Scorciatoia: L = 2 + Σ (d − 2) sui vertici di grado d ≥ 3.

6.Teoria dei grafi

Risposta: d(F) = 17

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Dijkstra passo per passo

Ogni riga: il vertice fissato, la sua distanza definitiva e i vertici adiacenti la cui distanza migliora.

A (0): B: 3, C: 4
B (3): G: 14
C (4): E: 14
E (14): D: 19, F: 17
G (14)
F (17)
D (19)

Cammino minimo

A → C → E → F
d(F) = 17

Risposta

d(F) = 17

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