Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

Nuovi eserciziTorna al corso

Nella finestra di stampa scegli “Salva come PDF” per conservarne una copia sul tuo dispositivo.

1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Qual è la soluzione della ricorrenza T(n) = T(n − 1) + O(1)?

  1. AO(log n)
  2. BO(2ⁿ)
  3. CO(n²)
  4. DO(n)
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Qual è il costo ammortizzato dell'incremento di un contatore binario, dato che un incremento può invertire molti bit?

  1. AO(1) per incremento
  2. BO(n log n) per incremento
  3. CO(n) per incremento
  4. DO(log n) per incremento
3.Strutture datiMedia

Un trie (albero dei prefissi) è particolarmente efficiente per:

  1. AMemorizzare matrici
  2. BTrovare cammini minimi
  3. COrdinare numeri
  4. DRicerche per prefisso, come il completamento automatico
4.Strutture datiDifficile

Quale problema della scansione lineare viene ridotto principalmente dal doppio hashing?

  1. ALa necessità di memorizzare le chiavi nella tabella
  2. BIl costo O(n) della lettura del valore di una chiave
  3. CLa necessità di una funzione hash
  4. DL'agglomerazione primaria (primary clustering), cioè la formazione di lunghe sequenze di posizioni occupate
5.Teoria dei grafiMedia

Un grafo connesso ha 11 vertici e 12 lati. Quanti lati k vanno tolti per ottenere un albero di copertura?

|V| = 11|E| = 12
k =
6.Teoria dei grafiDifficile
414812813114104413ABCDEFG

Usa l’algoritmo di Dijkstra per trovare la lunghezza d(F) del cammino minimo da A a F nel grafo pesato.

partenza: Aarrivo: F
d(F) =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: D · O(n)

Perché è questa la risposta

Ci sono n livelli, ciascuno con lavoro costante, come nella somma ricorsiva di un array.

Risposta

D · O(n)
2.Algoritmi e complessità

Risposta: A · O(1) per incremento

Perché è questa la risposta

Su n incrementi il bit i si inverte circa n / 2ⁱ volte, quindi il totale è inferiore a 2n inversioni, in media O(1) ciascuno.

Risposta

A · O(1) per incremento
3.Strutture dati

Risposta: D · Ricerche per prefisso, come il completamento automatico

Perché è questa la risposta

I trie memorizzano le stringhe carattere per carattere lungo i percorsi, quindi ricerche e interrogazioni per prefisso richiedono un tempo proporzionale alla lunghezza della chiave.

Risposta

D · Ricerche per prefisso, come il completamento automatico
4.Strutture dati

Risposta: D · L'agglomerazione primaria (primary clustering), cioè la formazione di lunghe sequenze di posizioni occupate

Perché è questa la risposta

La scansione lineare avanza di 1, quindi le sequenze occupate crescono e si fondono; il doppio hashing usa un secondo hash per il passo, così chiavi diverse esplorano sequenze diverse.

Risposta

D · L'agglomerazione primaria (primary clustering), cioè la formazione di lunghe sequenze di posizioni occupate
5.Teoria dei grafi

Risposta: k = 2

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Lati di un albero di copertura

11 − 1 = 10

Lati da togliere

k = 12 − 10 = 2

Risposta

k = 2
6.Teoria dei grafi

Risposta: d(F) = 24

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Dijkstra passo per passo

Ogni riga: il vertice fissato, la sua distanza definitiva e i vertici adiacenti la cui distanza migliora.

A (0): B: 4, C: 14
B (4): C: 12, D: 16, G: 14
C (12): E: 20
G (14)
D (16): F: 27
E (20): F: 24
F (24)

Cammino minimo

A → B → C → E → F
d(F) = 24

Risposta

d(F) = 24

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms