Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Qual è la soluzione della ricorrenza T(n) = T(n − 1) + O(n)?

  1. AO(n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n log n)
  4. DO(2ⁿ)
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Per quale variante dello zaino la regola greedy "prendi gli oggetti in ordine di valore per peso" dà sempre una risposta ottima?

  1. ALo zaino 0/1, in cui gli oggetti si devono prendere sempre interi
  2. BNessuna delle due varianti
  3. CEntrambe le varianti
  4. DLo zaino frazionario, in cui gli oggetti si possono dividere
3.Strutture datiMedia

Che cosa è vero per la matrice di adiacenza di un grafo non orientato?

  1. AÈ sempre triangolare superiore
  2. BLa sua diagonale principale contiene sempre degli uno
  3. COgni riga contiene esattamente un 1
  4. DÈ simmetrica rispetto alla diagonale principale
4.Strutture datiDifficile

Che cosa fa uno splay tree dopo ogni accesso?

  1. APorta con rotazioni il nodo acceduto fino alla radice
  2. BRicolora i nodi lungo il cammino di ricerca
  3. CRicostruisce l'intero albero in forma bilanciata
  4. DSposta il nodo acceduto in una foglia
5.Teoria dei grafiMedia

Un grafo connesso ha 10 vertici e 16 lati. Quanti lati k vanno tolti per ottenere un albero di copertura?

|V| = 10|E| = 16
k =
6.Teoria dei grafiDifficile
15817920151436ABCDEFG

Trova il peso totale W di un albero di copertura minimo del grafo pesato.

|V| = 7|E| = 10
W =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: B · O(n²)

Perché è questa la risposta

Il lavoro somma a circa n² / 2; è la ricorrenza del selection sort o del quicksort con il pivot peggiore.

Risposta

B · O(n²)
2.Algoritmi e complessità

Risposta: D · Lo zaino frazionario, in cui gli oggetti si possono dividere

Perché è questa la risposta

Quando gli oggetti si possono dividere, prendere prima il rapporto migliore è ottimo; nello zaino 0/1 un oggetto con rapporto alto può impedire una combinazione migliore, quindi serve la programmazione dinamica.

Risposta

D · Lo zaino frazionario, in cui gli oggetti si possono dividere
3.Strutture dati

Risposta: D · È simmetrica rispetto alla diagonale principale

Perché è questa la risposta

In un grafo non orientato l'arco {u, v} implica che siano impostati sia M[u][v] sia M[v][u], quindi la matrice coincide con la sua trasposta.

Risposta

D · È simmetrica rispetto alla diagonale principale
4.Strutture dati

Risposta: A · Porta con rotazioni il nodo acceduto fino alla radice

Perché è questa la risposta

L'operazione di splay sposta il nodo acceduto nella radice tramite rotazioni; una singola operazione può costare O(n), ma il costo ammortizzato è O(log n).

Risposta

A · Porta con rotazioni il nodo acceduto fino alla radice
5.Teoria dei grafi

Risposta: k = 7

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Lati di un albero di copertura

10 − 1 = 9

Lati da togliere

k = 16 − 9 = 7

Risposta

k = 7
6.Teoria dei grafi

Risposta: W = 38

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Algoritmo di Kruskal

AB (1): prendi
GC (3): prendi
AC (5): prendi
GE (6): prendi
BD (8): prendi
DE (9): salta, chiude un ciclo
GB (14): salta, chiude un ciclo
EF (15): prendi

Peso totale

W = 1 + 3 + 5 + 6 + 8 + 15 = 38

Risposta

W = 38

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