Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

Nuovi eserciziTorna al corso

Nella finestra di stampa scegli “Salva come PDF” per conservarne una copia sul tuo dispositivo.

1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Un algoritmo greedy (goloso):

  1. ACompie la scelta localmente migliore a ogni passo
  2. BUsa solo la ricorsione
  3. CFornisce sempre la soluzione ottima
  4. DProva ogni soluzione possibile
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Qual è il tempo di esecuzione dell'algoritmo di Dijkstra con uno heap binario su un grafo con V vertici ed E archi?

  1. AO(V³)
  2. BO((V + E) log V)
  3. CO(V × E)
  4. DO(V + E)
3.Strutture datiMedia

Perché un heap binario si può memorizzare in un array senza puntatori?

  1. ATutte le chiavi di un heap sono uguali
  2. BÈ un albero binario completo, quindi le posizioni seguono semplici formule sugli indici
  3. CGli array mantengono automaticamente le chiavi in ordine, quindi non servono puntatori
  4. DGli heap non contengono mai più di 100 elementi
4.Strutture datiDifficile

L'eliminazione di un nodo con due figli da un albero binario di ricerca avviene di solito:

  1. ARimuovendo l'intero sottoalbero
  2. BSostituendolo con il suo successore in ordine (o predecessore) ed eliminando quel nodo
  3. CScambiandolo con la radice
  4. DRicostruendo da zero il sottoalbero sottostante e reinserendo tutte le chiavi che conteneva
5.Teoria dei grafiMedia

Un grafo connesso ha 12 vertici e 18 lati. Quanti lati k vanno tolti per ottenere un albero di copertura?

|V| = 12|E| = 18
k =
6.Teoria dei grafiDifficile
37313513781ABCDEF

Usa l’algoritmo di Dijkstra per trovare la lunghezza d(F) del cammino minimo da A a F nel grafo pesato.

partenza: Aarrivo: F
d(F) =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: A · Compie la scelta localmente migliore a ogni passo

Perché è questa la risposta

Gli algoritmi greedy sono veloci e ottimi per alcuni problemi (ad es. Dijkstra, codifica di Huffman) ma non in generale (ad es. il problema del resto con alcuni sistemi di monete).

Risposta

A · Compie la scelta localmente migliore a ogni passo
2.Algoritmi e complessità

Risposta: B · O((V + E) log V)

Perché è questa la risposta

Ci sono V operazioni extract-min e fino a E operazioni decrease-key, ciascuna O(log V); uno heap di Fibonacci migliora a O(E + V log V).

Risposta

B · O((V + E) log V)
3.Strutture dati

Risposta: B · È un albero binario completo, quindi le posizioni seguono semplici formule sugli indici

Perché è questa la risposta

La completezza significa che non ci sono buchi, quindi i figli dell'indice i si trovano sempre a 2i + 1 e 2i + 2.

Risposta

B · È un albero binario completo, quindi le posizioni seguono semplici formule sugli indici
4.Strutture dati

Risposta: B · Sostituendolo con il suo successore in ordine (o predecessore) ed eliminando quel nodo

Perché è questa la risposta

Il successore in ordine ha al massimo un figlio, quindi può essere rimosso facilmente dopo averne copiato la chiave nel nodo da eliminare.

Risposta

B · Sostituendolo con il suo successore in ordine (o predecessore) ed eliminando quel nodo
5.Teoria dei grafi

Risposta: k = 7

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Lati di un albero di copertura

12 − 1 = 11

Lati da togliere

k = 18 − 11 = 7

Risposta

k = 7
6.Teoria dei grafi

Risposta: d(F) = 12

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Dijkstra passo per passo

Ogni riga: il vertice fissato, la sua distanza definitiva e i vertici adiacenti la cui distanza migliora.

A (0): B: 3, C: 7
B (3): C: 6, D: 16, E: 4
E (4): F: 12
C (6)
F (12)
D (16)

Cammino minimo

A → B → E → F
d(F) = 12

Risposta

d(F) = 12

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms