Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Quale affermazione su una funzione ricorsiva senza un caso base raggiungibile è corretta?

  1. AViene eseguita in tempo O(1)
  2. BContinua a chiamare se stessa finché lo stack delle chiamate va in overflow
  3. CIl compilatore la trasforma sempre in un ciclo che termina in modo sicuro
  4. DRestituisce automaticamente 0
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Qual è la complessità temporale di: for i = 1 to n: for (j = i; j ≤ n; j = j + i) lavoro O(1)?

  1. AO(n √n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n)
  4. DO(n²)
3.Strutture datiMedia

Qual è la complessità temporale della ricerca di una chiave in un albero binario di ricerca bilanciato?

  1. AO(log n)
  2. BO(1)
  3. CO(n)
  4. DO(n log n)
4.Strutture datiDifficile

Perché una tabella hash funzioni correttamente, quale regola devono rispettare hash e uguaglianza?

  1. AValori hash uguali implicano chiavi uguali
  2. BChiavi diverse devono avere valori hash diversi
  3. CChiavi uguali devono avere valori hash uguali
  4. DI valori hash devono essere numeri primi
5.Teoria dei grafiMedia
ABCDEFCircuito eulerianoCammino euleriano, nessun circuitonessuna delle due

Il grafo connesso ha un circuito euleriano, un cammino euleriano che non è un circuito, oppure nessuno dei due? Clicca la tua risposta.

|V| = 6|E| = 7
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Cammino euleriano, nessun circuito
  3. 3nessuna delle due
6.Teoria dei grafiDifficile
410139218512ABCDEF

L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo. Clicca il lato che aggiunge come lato numero 2; i lati saltati non contano.

k = 2
  1. 1lato AB
  2. 2lato BC
  3. 3lato BD
  4. 4lato CE
  5. 5lato DE
  6. 6lato DF
  7. 7lato EF
  8. 8lato BE

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: B · Continua a chiamare se stessa finché lo stack delle chiamate va in overflow

Perché è questa la risposta

Senza caso base la ricorsione non si ferma mai; in pratica la memoria per gli stack frame si esaurisce e il programma va in crash.

Risposta

B · Continua a chiamare se stessa finché lo stack delle chiamate va in overflow
2.Algoritmi e complessità

Risposta: B · O(n log n)

Perché è questa la risposta

Il totale è n / 1 + n / 2 + ... + n / n = n × Hn, e il numero armonico Hn è Θ(log n).

Risposta

B · O(n log n)
3.Strutture dati

Risposta: A · O(log n)

Perché è questa la risposta

Un albero bilanciato ha un'altezza di circa log₂ n, quindi una ricerca segue un unico percorso dalla radice a una foglia.

Risposta

A · O(log n)
4.Strutture dati

Risposta: C · Chiavi uguali devono avere valori hash uguali

Perché è questa la risposta

Se due chiavi uguali avessero hash diversi verrebbero memorizzate in bucket diversi e le ricerche fallirebbero; chiavi diverse possono invece condividere un hash.

Risposta

C · Chiavi uguali devono avere valori hash uguali
5.Teoria dei grafi

Risposta: nessuna delle due

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Gradi

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 1, deg(E) = 3, deg(F) = 1

Vertici dispari

C, D, E, F → 4
nessuna delle due

Risposta

nessuna delle due
6.Teoria dei grafi

Risposta: lato AB

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Algoritmo di Kruskal

1. DE (2)
2. AB (4)
3. EF (5)
4. CE (9)
5. BC (10)

lato numero 2

AB

Risposta

lato AB

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