Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

La complessità temporale del Fibonacci ricorsivo ingenuo (fib(n) = fib(n−1) + fib(n−2)) è:

  1. ACostante
  2. BEsponenziale
  3. CLineare
  4. DLogaritmica
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Come si confrontano n! e 2ⁿ per n grande?

  1. ACrescono allo stesso ritmo
  2. Bn! è O(n²)
  3. C2ⁿ cresce più velocemente di n!
  4. Dn! cresce più velocemente di 2ⁿ
3.Strutture datiMedia

Qual è la complessità temporale della ricerca di una chiave in un albero binario di ricerca bilanciato?

  1. AO(log n)
  2. BO(1)
  3. CO(n)
  4. DO(n log n)
4.Strutture datiDifficile

Quale problema della scansione lineare viene ridotto principalmente dal doppio hashing?

  1. AL'agglomerazione primaria (primary clustering), cioè la formazione di lunghe sequenze di posizioni occupate
  2. BIl costo O(n) della lettura del valore di una chiave
  3. CLa necessità di una funzione hash
  4. DLa necessità di memorizzare le chiavi nella tabella
5.Teoria dei grafiMedia

Un grafo connesso ha 18 vertici e 25 lati. Quanti lati k vanno tolti per ottenere un albero di copertura?

|V| = 18|E| = 25
k =
6.Teoria dei grafiDifficile
16131511220938ABCDEFG

Trova il peso totale W di un albero di copertura minimo del grafo pesato.

|V| = 7|E| = 9
W =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: B · Esponenziale

Perché è questa la risposta

L'albero delle chiamate cresce all'incirca come φⁿ (circa 1,618ⁿ). La memoizzazione la riduce a O(n).

Risposta

B · Esponenziale
2.Algoritmi e complessità

Risposta: D · n! cresce più velocemente di 2ⁿ

Perché è questa la risposta

Per n ≥ 4, n! supera 2ⁿ, e il rapporto cresce senza limite perché ogni fattore aggiuntivo di n! è maggiore di 2.

Risposta

D · n! cresce più velocemente di 2ⁿ
3.Strutture dati

Risposta: A · O(log n)

Perché è questa la risposta

Un albero bilanciato ha un'altezza di circa log₂ n, quindi una ricerca segue un unico percorso dalla radice a una foglia.

Risposta

A · O(log n)
4.Strutture dati

Risposta: A · L'agglomerazione primaria (primary clustering), cioè la formazione di lunghe sequenze di posizioni occupate

Perché è questa la risposta

La scansione lineare avanza di 1, quindi le sequenze occupate crescono e si fondono; il doppio hashing usa un secondo hash per il passo, così chiavi diverse esplorano sequenze diverse.

Risposta

A · L'agglomerazione primaria (primary clustering), cioè la formazione di lunghe sequenze di posizioni occupate
5.Teoria dei grafi

Risposta: k = 8

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Lati di un albero di copertura

18 − 1 = 17

Lati da togliere

k = 25 − 17 = 8

Risposta

k = 8
6.Teoria dei grafi

Risposta: W = 54

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Algoritmo di Kruskal

CE (1): prendi
GD (3): prendi
GE (8): prendi
GB (9): prendi
DE (12): salta, chiude un ciclo
AC (13): prendi
BC (15): salta, chiude un ciclo
AB (16): salta, chiude un ciclo
DF (20): prendi

Peso totale

W = 1 + 3 + 8 + 9 + 13 + 20 = 54

Risposta

W = 54

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