Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Perché molte routine di ordinamento delle librerie passano all'insertion sort per sottoarray molto piccoli?

  1. AL'insertion sort usa meno memoria di qualsiasi altro algoritmo di ordinamento per input grandi
  2. BGli algoritmi ricorsivi non gestiscono array con meno di 10 elementi
  3. CL'insertion sort ha poco overhead ed è veloce su input piccoli o quasi ordinati
  4. DL'insertion sort è O(n log n) nel caso peggiore
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Il problema della fermata dimostra che:

  1. AOgni programma prima o poi si ferma
  2. BI cicli andrebbero evitati
  3. CAlcuni programmi girano più velocemente su computer più veloci, quindi la terminazione dipende dall'hardware
  4. DNessun algoritmo può decidere, per ogni programma e ogni input, se il programma si ferma
3.Strutture datiMedia

Quale struttura dati si usa per verificare se le parentesi in "{[()]}" sono bilanciate?

  1. AUna coda
  2. BUna pila
  3. CUn albero binario di ricerca
  4. DUna tabella hash
4.Strutture datiDifficile

Qual è il vantaggio principale di una skip list rispetto a una lista concatenata ordinata?

  1. AMemorizza le chiavi senza ordine
  2. BRicerca garantita in O(1) perché ogni nodo memorizza un puntatore a tutti gli altri nodi
  3. CNon usa memoria aggiuntiva
  4. DRicerca attesa in O(log n) grazie a più livelli di puntatori in avanti
5.Teoria dei grafiMedia
ABCDEFCircuito eulerianoCammino euleriano, nessun circuitonessuna delle due

Il grafo connesso ha un circuito euleriano, un cammino euleriano che non è un circuito, oppure nessuno dei due? Clicca la tua risposta.

|V| = 6|E| = 6
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Cammino euleriano, nessun circuito
  3. 3nessuna delle due
6.Teoria dei grafiDifficile
61511121314ABCDEF

Usa l’algoritmo di Dijkstra per trovare la lunghezza d(F) del cammino minimo da A a F nel grafo pesato.

partenza: Aarrivo: F
d(F) =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: C · L'insertion sort ha poco overhead ed è veloce su input piccoli o quasi ordinati

Perché è questa la risposta

Per n piccolo il semplice ciclo dell'insertion sort batte l'overhead della ricorsione di quicksort o merge sort, anche se è O(n²).

Risposta

C · L'insertion sort ha poco overhead ed è veloce su input piccoli o quasi ordinati
2.Algoritmi e complessità

Risposta: D · Nessun algoritmo può decidere, per ogni programma e ogni input, se il programma si ferma

Perché è questa la risposta

Turing dimostrò che il problema della fermata è indecidibile: supporre che esista un decisore porta a una contraddizione con un programma che fa l'opposto.

Risposta

D · Nessun algoritmo può decidere, per ogni programma e ogni input, se il programma si ferma
3.Strutture dati

Risposta: B · Una pila

Perché è questa la risposta

Si inserisce (push) ogni parentesi aperta e si estrae (pop) quando compare una parentesi chiusa; questa deve corrispondere a quella estratta e alla fine la pila deve essere vuota.

Risposta

B · Una pila
4.Strutture dati

Risposta: D · Ricerca attesa in O(log n) grazie a più livelli di puntatori in avanti

Perché è questa la risposta

I livelli casuali permettono alle ricerche di saltare molti nodi, ottenendo un tempo atteso O(log n) per ricerca, inserimento e cancellazione.

Risposta

D · Ricerca attesa in O(log n) grazie a più livelli di puntatori in avanti
5.Teoria dei grafi

Risposta: nessuna delle due

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Gradi

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 1, deg(D) = 2, deg(E) = 4, deg(F) = 1

Vertici dispari

A, B, C, F → 4
nessuna delle due

Risposta

nessuna delle due
6.Teoria dei grafi

Risposta: d(F) = 18

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Dijkstra passo per passo

Ogni riga: il vertice fissato, la sua distanza definitiva e i vertici adiacenti la cui distanza migliora.

A (0): B: 6, C: 1
C (1): E: 13
B (6): D: 17, E: 10
E (10)
D (17): F: 18
F (18)

Cammino minimo

A → B → D → F
d(F) = 18

Risposta

d(F) = 18

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