Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Il limite inferiore per l'ordinamento basato su confronti nel caso peggiore è:

  1. AΩ(n)
  2. BΩ(log n)
  3. CΩ(n²)
  4. DΩ(n log n)
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Un problema è NP-completo se:

  1. AAppartiene a NP e ogni problema NP si riduce a esso in tempo polinomiale
  2. BÈ risolvibile in tempo polinomiale
  3. CÈ impossibile da risolvere
  4. DÈ al di fuori di NP ma più difficile di tutti i problemi NP, come il problema della fermata
3.Strutture datiMedia

Perché in pratica percorrere un array è spesso molto più veloce che percorrere una lista concatenata della stessa lunghezza?

  1. AGli elementi dell'array sono contigui, quindi sfruttano bene la cache della CPU
  2. BLa visita di un array è O(1) in totale, mentre quella di una lista concatenata è O(n)
  3. CGli array usano meno istruzioni per confrontare i valori
  4. DLe liste concatenate memorizzano sempre gli elementi su disco
4.Strutture datiDifficile

La complessità temporale di decrease-key in un heap binario (nota la posizione dell'elemento) è:

  1. AO(log n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n)
  4. DO(1)
5.Teoria dei grafiMedia

Un albero ha 4 vertici di grado 3, 4 vertici di grado 4, 3 vertici di grado 5, 4 vertici di grado 2, e tutti gli altri suoi vertici sono foglie (grado 1). Quante foglie L ha?

4 × deg 34 × deg 43 × deg 54 × deg 2
L =
6.Teoria dei grafiDifficile
3101241513148ABCDEF

L’algoritmo di Dijkstra parte da A. Clicca il vertice che viene fissato (reso permanente) al passo 3; A stesso è il passo 1.

partenza: Apasso 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: D · Ω(n log n)

Perché è questa la risposta

Qualsiasi ordinamento per confronti richiede almeno log₂(n!) ≈ n log n confronti nel caso peggiore. Il counting sort lo batte perché non effettua confronti.

Risposta

D · Ω(n log n)
2.Algoritmi e complessità

Risposta: A · Appartiene a NP e ogni problema NP si riduce a esso in tempo polinomiale

Perché è questa la risposta

I problemi NP-completi sono i più difficili in NP; un algoritmo polinomiale per uno di essi ne darebbe uno per tutto NP.

Risposta

A · Appartiene a NP e ogni problema NP si riduce a esso in tempo polinomiale
3.Strutture dati

Risposta: A · Gli elementi dell'array sono contigui, quindi sfruttano bene la cache della CPU

Perché è questa la risposta

La memoria contigua offre una buona località dei riferimenti, mentre i nodi collegati possono essere sparsi e causare molti cache miss.

Risposta

A · Gli elementi dell'array sono contigui, quindi sfruttano bene la cache della CPU
4.Strutture dati

Risposta: A · O(log n)

Perché è questa la risposta

Dopo aver diminuito la chiave, l'elemento risale (sift-up) al massimo per l'altezza dell'heap. Gli heap di Fibonacci ottengono decrease-key in O(1) ammortizzato.

Risposta

A · O(log n)
5.Teoria dei grafi

Risposta: L = 23

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Lemma delle strette di mano per un albero

L + 51 = 2(L + 15) − 2
L = 23

Risposta

L = 23

Scorciatoia: L = 2 + Σ (d − 2) sui vertici di grado d ≥ 3.

6.Teoria dei grafi

Risposta: D

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Dijkstra passo per passo

1. A (0): B: 3, C: 10
2. B (3): D: 7, E: 11
3. D (7): F: 20
4. C (10)
5. E (11)
6. F (20)

passo 3

D

Risposta

D

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