Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

La ricorrenza T(n) = 2T(n/2) + O(n) ha come soluzione:

  1. AO(n log n)
  2. BO(n)
  3. CO(log n)
  4. DO(n²)
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Quale definizione della classe NP è corretta?

  1. AProblemi che nessun algoritmo può risolvere
  2. BProblemi decisionali le cui risposte sì possono essere verificate in tempo polinomiale dato un certificato
  3. CProblemi che non sono polinomiali
  4. DProblemi che non si possono risolvere in tempo polinomiale
3.Strutture datiMedia

Come si trova la chiave minima in un albero binario di ricerca?

  1. ASi seguono i figli sinistri dalla radice finché non c'è più un figlio sinistro
  2. BSi seguono i figli destri dalla radice finché non c'è più un figlio destro
  3. CSi guarda solo la radice
  4. DSi visitano tutte le foglie e le si confronta
4.Strutture datiDifficile

Quale affermazione sull'heapsort è corretta?

  1. AOrdina sul posto in tempo O(n log n) nel caso peggiore ma non è stabile
  2. BRichiede tempo O(n) su qualsiasi input
  3. CRichiede un albero binario di ricerca come memoria aggiuntiva, quindi usa O(n) memoria extra
  4. DÈ stabile e richiede O(n) memoria aggiuntiva
5.Teoria dei grafiMedia
ABCDECircuito eulerianoCammino euleriano, nessun circuitonessuna delle due

Il grafo connesso ha un circuito euleriano, un cammino euleriano che non è un circuito, oppure nessuno dei due? Clicca la tua risposta.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Cammino euleriano, nessun circuito
  3. 3nessuna delle due
6.Teoria dei grafiDifficile
10141132028ABCDE

Trova il peso totale W di un albero di copertura minimo del grafo pesato.

|V| = 5|E| = 7
W =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: A · O(n log n)

Perché è questa la risposta

Per il teorema dell'esperto (master theorem) (a = 2, b = 2, f(n) = n), T(n) = Θ(n log n).

Risposta

A · O(n log n)
2.Algoritmi e complessità

Risposta: B · Problemi decisionali le cui risposte sì possono essere verificate in tempo polinomiale dato un certificato

Perché è questa la risposta

Per un problema NP, una soluzione proposta (certificato) può essere controllata rapidamente, per esempio verificando che un dato assegnamento soddisfi una formula booleana.

Risposta

B · Problemi decisionali le cui risposte sì possono essere verificate in tempo polinomiale dato un certificato
3.Strutture dati

Risposta: A · Si seguono i figli sinistri dalla radice finché non c'è più un figlio sinistro

Perché è questa la risposta

Il nodo più a sinistra non ha chiavi minori nell'albero, quindi è il minimo; il costo è proporzionale all'altezza.

Risposta

A · Si seguono i figli sinistri dalla radice finché non c'è più un figlio sinistro
4.Strutture dati

Risposta: A · Ordina sul posto in tempo O(n log n) nel caso peggiore ma non è stabile

Perché è questa la risposta

L'heapsort costruisce un max-heap ed estrae il massimo n volte all'interno dello stesso array; gli scambi a lunga distanza possono riordinare chiavi uguali.

Risposta

A · Ordina sul posto in tempo O(n log n) nel caso peggiore ma non è stabile
5.Teoria dei grafi

Risposta: Circuito euleriano

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Gradi

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Vertici dispari

0
Circuito euleriano

Risposta

Circuito euleriano
6.Teoria dei grafi

Risposta: W = 26

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Algoritmo di Kruskal

DE (2): prendi
BD (3): prendi
BE (8): salta, chiude un ciclo
AB (10): prendi
BC (11): prendi

Peso totale

W = 2 + 3 + 10 + 11 = 26

Risposta

W = 26

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