Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Qual è la complessità temporale dell'algoritmo standard di programmazione dinamica per la sottosequenza comune più lunga di stringhe di lunghezze m e n?

  1. AO(m + n)
  2. BO(mn)
  3. CO(2m+n)
  4. DO(mn log n)
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Per dimostrare che un nuovo problema X è NP-difficile, che cosa devi fare?

  1. ADimostrare che X si può verificare in tempo polinomiale
  2. BDimostrare che X non ha un algoritmo polinomiale per input piccoli
  3. CRidurre in tempo polinomiale X a un problema NP-difficile noto
  4. DRidurre in tempo polinomiale un problema NP-difficile noto a X
3.Strutture datiMedia

Che cosa succede quando una tabella hash esegue il rehashing dopo che il fattore di carico ha superato una soglia?

  1. ASi alloca una tabella più grande e ogni chiave viene reinserita
  2. BSolo le chiavi in collisione vengono spostate in una nuova lista di overflow in fondo alla tabella
  3. CLe chiavi più vecchie vengono eliminate per fare spazio
  4. DLe chiavi esistenti vengono ordinate sul posto
4.Strutture datiDifficile

Quale proprietà mantiene ogni B-albero perfettamente bilanciato?

  1. ALe chiavi sono memorizzate solo nella radice
  2. BTutte le foglie sono alla stessa profondità
  3. COgni nodo ha esattamente due figli
  4. DOgni nodo memorizza una sola chiave
5.Teoria dei grafiMedia

Un albero ha 2 vertici di grado 3, e tutti gli altri suoi vertici sono foglie (grado 1). Quante foglie L ha?

2 × deg 3
L =
6.Teoria dei grafiDifficile
1041215117101015ABCDEFG

L’algoritmo di Dijkstra parte da A. Clicca il vertice che viene fissato (reso permanente) al passo 3; A stesso è il passo 1.

partenza: Apasso 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: B · O(mn)

Perché è questa la risposta

La tabella ha (m + 1)(n + 1) celle e ciascuna si calcola in O(1) dalle vicine.

Risposta

B · O(mn)
2.Algoritmi e complessità

Risposta: D · Ridurre in tempo polinomiale un problema NP-difficile noto a X

Perché è questa la risposta

Se un problema difficile noto può essere trasformato efficientemente in X, un algoritmo veloce per X risolverebbe anche il problema noto.

Risposta

D · Ridurre in tempo polinomiale un problema NP-difficile noto a X
3.Strutture dati

Risposta: A · Si alloca una tabella più grande e ogni chiave viene reinserita

Perché è questa la risposta

Poiché l'indice si calcola modulo la dimensione della tabella, tutte le chiavi devono essere ridistribuite nella nuova tabella più grande; raddoppiando la dimensione il costo resta O(1) ammortizzato.

Risposta

A · Si alloca una tabella più grande e ogni chiave viene reinserita
4.Strutture dati

Risposta: B · Tutte le foglie sono alla stessa profondità

Perché è questa la risposta

I nodi pieni si dividono verso l'alto e l'albero diventa più alto solo quando si divide la radice, quindi tutte le foglie restano sempre allo stesso livello.

Risposta

B · Tutte le foglie sono alla stessa profondità
5.Teoria dei grafi

Risposta: L = 4

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Lemma delle strette di mano per un albero

L + 6 = 2(L + 2) − 2
L = 4

Risposta

L = 4

Scorciatoia: L = 2 + Σ (d − 2) sui vertici di grado d ≥ 3.

6.Teoria dei grafi

Risposta: D

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Dijkstra passo per passo

1. A (0): B: 10
2. B (10): C: 14, D: 11, G: 17
3. D (11): F: 26
4. C (14): E: 16
5. E (16)
6. G (17)
7. F (26)

passo 3

D

Risposta

D

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