Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Perché la programmazione dinamica non dà un vero guadagno di velocità per il merge sort?

  1. ALa programmazione dinamica funziona solo sui problemi su grafi, non sugli array
  2. BIl merge sort è già O(n)
  3. CIl merge sort non ha una struttura ricorsiva
  4. DI suoi sottoproblemi non si sovrappongono, quindi non c'è nulla da riutilizzare
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Il problema dello zaino 0/1 risolto con la programmazione dinamica richiede tempo O(nW). Perché si dice pseudo-polinomiale?

  1. APerché l'algoritmo è randomizzato e il suo tempo di esecuzione varia a ogni input
  2. BPerché funziona solo per W = 0
  3. CPerché n è sempre piccolo
  4. DW è un numero, quindi il tempo è esponenziale nel numero di bit usati per scrivere W
3.Strutture datiMedia

Perché in pratica percorrere un array è spesso molto più veloce che percorrere una lista concatenata della stessa lunghezza?

  1. ALe liste concatenate memorizzano sempre gli elementi su disco
  2. BGli elementi dell'array sono contigui, quindi sfruttano bene la cache della CPU
  3. CLa visita di un array è O(1) in totale, mentre quella di una lista concatenata è O(n)
  4. DGli array usano meno istruzioni per confrontare i valori
4.Strutture datiDifficile

Nel BST con radice 50, sottoalbero sinistro 30 (figli 20, 40) e sottoalbero destro 70 (figli 60, 80), la radice viene eliminata usando il successore in ordine. Quale chiave diventa la nuova radice?

  1. A80
  2. B40
  3. C70
  4. D60
5.Teoria dei grafiMedia

Un grafo connesso ha 12 vertici e 15 lati. Quanti lati k vanno tolti per ottenere un albero di copertura?

|V| = 12|E| = 15
k =
6.Teoria dei grafiDifficile
2064142173ABCDE

L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo. Clicca il lato che aggiunge come lato numero 2; i lati saltati non contano.

k = 2
  1. 1lato AB
  2. 2lato AC
  3. 3lato BC
  4. 4lato BD
  5. 5lato CE
  6. 6lato DE
  7. 7lato BE

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: D · I suoi sottoproblemi non si sovrappongono, quindi non c'è nulla da riutilizzare

Perché è questa la risposta

Le metà del merge sort sono disgiunte e ciascuna viene risolta una volta; la PD aiuta solo quando i sottoproblemi si ripetono, come in Fibonacci.

Risposta

D · I suoi sottoproblemi non si sovrappongono, quindi non c'è nulla da riutilizzare
2.Algoritmi e complessità

Risposta: D · W è un numero, quindi il tempo è esponenziale nel numero di bit usati per scrivere W

Perché è questa la risposta

Il tempo di esecuzione è polinomiale nel valore di W ma esponenziale nella sua lunghezza (log W bit); lo zaino 0/1 è NP-completo.

Risposta

D · W è un numero, quindi il tempo è esponenziale nel numero di bit usati per scrivere W
3.Strutture dati

Risposta: B · Gli elementi dell'array sono contigui, quindi sfruttano bene la cache della CPU

Perché è questa la risposta

La memoria contigua offre una buona località dei riferimenti, mentre i nodi collegati possono essere sparsi e causare molti cache miss.

Risposta

B · Gli elementi dell'array sono contigui, quindi sfruttano bene la cache della CPU
4.Strutture dati

Risposta: D · 60

Perché è questa la risposta

Il nodo più a sinistra del sottoalbero destro è 60, quindi 60 sostituisce 50 e la sua vecchia posizione viene rimossa; usando il predecessore si otterrebbe 40.

Risposta

D · 60
5.Teoria dei grafi

Risposta: k = 4

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Lati di un albero di copertura

12 − 1 = 11

Lati da togliere

k = 15 − 11 = 4

Risposta

k = 4
6.Teoria dei grafi

Risposta: lato BE

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Algoritmo di Kruskal

1. CE (2)
2. BE (3)
3. AC (6)
4. BD (14)

lato numero 2

BE

Risposta

lato BE

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