Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Qual è la soluzione della ricorrenza T(n) = 2T(n/2) + O(1)?

  1. AO(n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(log n)
  4. DO(n²)
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Perché una ricerca in una tabella hash è in media O(1) ma nel caso peggiore O(n)?

  1. AMolte chiavi possono collidere nello stesso bucket
  2. BGli array hanno accesso O(n)
  3. CLe funzioni hash sono lente
  4. DLe chiavi devono prima essere ordinate
3.Strutture datiMedia

Quale struttura dati usa la visita in profondità (DFS) nella versione iterativa?

  1. ASolo una tabella hash
  2. BUn heap
  3. CUno stack
  4. DUna coda
4.Strutture datiDifficile

Perché una tabella hash funzioni correttamente, quale regola devono rispettare hash e uguaglianza?

  1. AChiavi diverse devono avere valori hash diversi
  2. BChiavi uguali devono avere valori hash uguali
  3. CValori hash uguali implicano chiavi uguali
  4. DI valori hash devono essere numeri primi
5.Teoria dei grafiMedia

Un grafo connesso ha 18 vertici e 19 lati. Quanti lati k vanno tolti per ottenere un albero di copertura?

|V| = 18|E| = 19
k =
6.Teoria dei grafiDifficile
61481211051ABCDEF

L’algoritmo di Dijkstra parte da A. Clicca il vertice che viene fissato (reso permanente) al passo 4; A stesso è il passo 1.

partenza: Apasso 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: A · O(n)

Perché è questa la risposta

Per il teorema dell'esperto (master theorem) nlog₂ 2 = n domina il lavoro costante, quindi T(n) = Θ(n), come quando si trova il massimo dividendo a metà.

Risposta

A · O(n)
2.Algoritmi e complessità

Risposta: A · Molte chiavi possono collidere nello stesso bucket

Perché è questa la risposta

Con una buona funzione hash e un fattore di carico adeguato, i bucket restano in media corti; un hashing malevolo o scadente può mettere tutte le chiavi in un solo bucket.

Risposta

A · Molte chiavi possono collidere nello stesso bucket
3.Strutture dati

Risposta: C · Uno stack

Perché è questa la risposta

La DFS esplora il più in profondità possibile, usando naturalmente uno stack (o lo stack delle chiamate della ricorsione); la BFS usa una coda.

Risposta

C · Uno stack
4.Strutture dati

Risposta: B · Chiavi uguali devono avere valori hash uguali

Perché è questa la risposta

Se due chiavi uguali avessero hash diversi verrebbero memorizzate in bucket diversi e le ricerche fallirebbero; chiavi diverse possono invece condividere un hash.

Risposta

B · Chiavi uguali devono avere valori hash uguali
5.Teoria dei grafi

Risposta: k = 2

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Lati di un albero di copertura

18 − 1 = 17

Lati da togliere

k = 19 − 17 = 2

Risposta

k = 2
6.Teoria dei grafi

Risposta: D

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Dijkstra passo per passo

1. A (0): B: 6, C: 14
2. B (6): D: 14, E: 7
3. E (7): D: 8, F: 12
4. D (8)
5. F (12)
6. C (14)

passo 4

D

Risposta

D

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