Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Qual è la soluzione della ricorrenza T(n) = T(n − 1) + O(n)?

  1. AO(n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n log n)
  4. DO(2ⁿ)
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Qual è il costo ammortizzato dell'incremento di un contatore binario, dato che un incremento può invertire molti bit?

  1. AO(log n) per incremento
  2. BO(n) per incremento
  3. CO(n log n) per incremento
  4. DO(1) per incremento
3.Strutture datiMedia

Quale metodo di risoluzione delle collisioni memorizza le chiavi in collisione in una lista nello stesso bucket?

  1. AConcatenamento separato (separate chaining)
  2. BScansione lineare (linear probing)
  3. CDoppio hashing (double hashing)
  4. DScansione quadratica (quadratic probing)
4.Strutture datiDifficile

In una tabella hash con indirizzamento aperto, perché la cancellazione avviene spesso con un marcatore «lapide» (tombstone)?

  1. ASvuotare la posizione potrebbe interrompere la sequenza di scansione di altre chiavi
  2. BLe chiavi cancellate devono essere conservate per sempre per motivi di sicurezza, quindi le posizioni non si possono mai riutilizzare
  3. CRende la tabella ordinata
  4. DLe lapidi velocizzano l'hashing
5.Teoria dei grafiMedia

Un grafo connesso ha 14 vertici e 25 lati. Quanti lati k vanno tolti per ottenere un albero di copertura?

|V| = 14|E| = 25
k =
6.Teoria dei grafiDifficile
1110264727ABCDEF

Usa l’algoritmo di Dijkstra per trovare la lunghezza d(F) del cammino minimo da A a F nel grafo pesato.

partenza: Aarrivo: F
d(F) =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: B · O(n²)

Perché è questa la risposta

Il lavoro somma a circa n² / 2; è la ricorrenza del selection sort o del quicksort con il pivot peggiore.

Risposta

B · O(n²)
2.Algoritmi e complessità

Risposta: D · O(1) per incremento

Perché è questa la risposta

Su n incrementi il bit i si inverte circa n / 2ⁱ volte, quindi il totale è inferiore a 2n inversioni, in media O(1) ciascuno.

Risposta

D · O(1) per incremento
3.Strutture dati

Risposta: A · Concatenamento separato (separate chaining)

Perché è questa la risposta

Il concatenamento mantiene una lista concatenata (o un'altra struttura) per ogni bucket; l'indirizzamento aperto cerca un'altra posizione libera all'interno della tabella stessa.

Risposta

A · Concatenamento separato (separate chaining)
4.Strutture dati

Risposta: A · Svuotare la posizione potrebbe interrompere la sequenza di scansione di altre chiavi

Perché è questa la risposta

Se una posizione cancellata diventasse vuota, le ricerche successive potrebbero fermarsi in anticipo e non trovare chiavi collocate più avanti nella catena di scansione.

Risposta

A · Svuotare la posizione potrebbe interrompere la sequenza di scansione di altre chiavi
5.Teoria dei grafi

Risposta: k = 12

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Lati di un albero di copertura

14 − 1 = 13

Lati da togliere

k = 25 − 13 = 12

Risposta

k = 12
6.Teoria dei grafi

Risposta: d(F) = 20

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Dijkstra passo per passo

Ogni riga: il vertice fissato, la sua distanza definitiva e i vertici adiacenti la cui distanza migliora.

A (0): B: 11, C: 10
C (10)
B (11): D: 17, E: 18
D (17): F: 24
E (18): F: 20
F (20)

Cammino minimo

A → B → E → F
d(F) = 20

Risposta

d(F) = 20

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