Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Nel problema della selezione di attività, quale regola greedy dà sempre il numero massimo di attività non sovrapposte?

  1. AScegliere per prima l'attività con meno sovrapposizioni, poi ripetere con quelle compatibili
  2. BScegliere l'attività che termina prima, poi ripetere con quelle compatibili
  3. CScegliere per prima l'attività più breve
  4. DScegliere l'attività che inizia prima
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Come si confrontano n! e 2ⁿ per n grande?

  1. An! è O(n²)
  2. B2ⁿ cresce più velocemente di n!
  3. CCrescono allo stesso ritmo
  4. Dn! cresce più velocemente di 2ⁿ
3.Strutture datiMedia

Qual è il costo di inserire un elemento al centro di un array di n elementi?

  1. AO(1), perché l'indice è noto
  2. BO(n²), perché ogni elemento si sposta n volte
  3. CO(log n), per via della ricerca binaria
  4. DO(n), perché gli elementi successivi devono essere spostati
4.Strutture datiDifficile

Devi conservare i k valori più piccoli di un flusso di n numeri usando O(k) memoria. Quale approccio funziona in tempo O(n log k)?

  1. AUn min-heap che contiene tutti gli n valori, da cui alla fine si estraggono i k più piccoli
  2. BUn array ordinato di tutti gli n valori
  3. CUna coda FIFO degli ultimi k valori
  4. DUn max-heap di dimensione k, di cui si sostituisce la radice quando arriva un valore più piccolo
5.Teoria dei grafiMedia

Un grafo connesso ha 20 vertici e 28 lati. Quanti lati k vanno tolti per ottenere un albero di copertura?

|V| = 20|E| = 28
k =
6.Teoria dei grafiDifficile
15476171012135ABCDEFG

L’algoritmo di Prim costruisce un albero di copertura minimo a partire dal vertice E. Clicca il lato che aggiunge come lato numero 5.

partenza: Ek = 5
  1. 1lato AC
  2. 2lato BC
  3. 3lato CE
  4. 4lato DE
  5. 5lato DF
  6. 6lato GB
  7. 7lato GC
  8. 8lato GD
  9. 9lato GE

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: B · Scegliere l'attività che termina prima, poi ripetere con quelle compatibili

Perché è questa la risposta

Si può dimostrare con un argomento di scambio che scegliere il tempo di fine più precoce è ottimo; le altre regole hanno controesempi.

Risposta

B · Scegliere l'attività che termina prima, poi ripetere con quelle compatibili
2.Algoritmi e complessità

Risposta: D · n! cresce più velocemente di 2ⁿ

Perché è questa la risposta

Per n ≥ 4, n! supera 2ⁿ, e il rapporto cresce senza limite perché ogni fattore aggiuntivo di n! è maggiore di 2.

Risposta

D · n! cresce più velocemente di 2ⁿ
3.Strutture dati

Risposta: D · O(n), perché gli elementi successivi devono essere spostati

Perché è questa la risposta

Tutti gli elementi dopo il punto di inserimento si spostano di una posizione a destra, il che richiede un tempo proporzionale a n.

Risposta

D · O(n), perché gli elementi successivi devono essere spostati
4.Strutture dati

Risposta: D · Un max-heap di dimensione k, di cui si sostituisce la radice quando arriva un valore più piccolo

Perché è questa la risposta

La radice del max-heap è il più grande valore conservato; ogni nuovo valore più piccolo la sostituisce in O(log k), quindi l'heap contiene sempre i k valori più piccoli visti finora.

Risposta

D · Un max-heap di dimensione k, di cui si sostituisce la radice quando arriva un valore più piccolo
5.Teoria dei grafi

Risposta: k = 9

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Lati di un albero di copertura

20 − 1 = 19

Lati da togliere

k = 28 − 19 = 9

Risposta

k = 9
6.Teoria dei grafi

Risposta: lato AC

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Algoritmo di Prim

1. GE (5)
2. DE (6)
3. CE (7)
4. BC (4)
5. AC (15)
6. DF (17)

lato numero 5

AC

Risposta

lato AC

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