Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

Nuovi eserciziTorna al corso

Nella finestra di stampa scegli “Salva come PDF” per conservarne una copia sul tuo dispositivo.

1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Qual è la complessità temporale del calcolo dell'n-esimo numero di Fibonacci con una tabella bottom-up?

  1. AO(log n)
  2. BO(2ⁿ)
  3. CO(n²)
  4. DO(n)
2.Algoritmi e complessitàDifficile

L'ordinamento topologico è possibile solo per:

  1. AGrafi non orientati
  2. BGrafi orientati aciclici (DAG)
  3. CGrafi con pesi negativi
  4. DGrafi completi
3.Strutture datiMedia

Quanto tempo serve per verificare se l'arco (u, v) esiste usando una matrice di adiacenza?

  1. AO(E)
  2. BO(1)
  3. CO(log V)
  4. DO(V)
4.Strutture datiDifficile

Quale struttura dati permette una cache LRU (least recently used) con get e put in O(1)?

  1. AUn singolo array ordinato
  2. BSolo un albero binario di ricerca
  3. CSolo uno stack
  4. DUna hash map combinata con una lista doppiamente concatenata
5.Teoria dei grafiMedia

Un grafo connesso ha 7 vertici e 17 lati. Quanti lati k vanno tolti per ottenere un albero di copertura?

|V| = 7|E| = 17
k =
6.Teoria dei grafiDifficile
ABCDE

Quanti cammini di lunghezza 2 vanno da A a C? Un cammino può ripetere vertici e lati. Chiama il numero N.

M = matrice di adiacenzaL = 2
N =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: D · O(n)

Perché è questa la risposta

Riempire la tabella da 0 a n richiede un'addizione per voce, quindi il lavoro è lineare anziché esponenziale.

Risposta

D · O(n)
2.Algoritmi e complessità

Risposta: B · Grafi orientati aciclici (DAG)

Perché è questa la risposta

Un ordinamento topologico esiste se e solo se il grafo orientato non ha cicli; si può trovare in O(V + E) con la DFS o con l'algoritmo di Kahn.

Risposta

B · Grafi orientati aciclici (DAG)
3.Strutture dati

Risposta: B · O(1)

Perché è questa la risposta

L'elemento della matrice alla riga u, colonna v indica immediatamente se l'arco esiste; con una lista di adiacenza può essere necessario scorrere i vicini di u.

Risposta

B · O(1)
4.Strutture dati

Risposta: D · Una hash map combinata con una lista doppiamente concatenata

Perché è questa la risposta

La hash map trova i nodi in O(1) e la lista doppiamente concatenata sposta in testa gli elementi acceduti ed espelle dal fondo in O(1).

Risposta

D · Una hash map combinata con una lista doppiamente concatenata
5.Teoria dei grafi

Risposta: k = 11

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Lati di un albero di copertura

7 − 1 = 6

Lati da togliere

k = 17 − 6 = 11

Risposta

k = 11
6.Teoria dei grafi

Risposta: N = 1

Gradi: il grado di un vertice è il numero di lati che vi arrivano. Ogni lato ha due estremi, quindi i gradi sommano al doppio del numero di lati: Σ deg(v) = 2|E| (il lemma delle strette di mano). Il numero di vertici di grado dispari è quindi pari. Kn ha n(n − 1)/2 lati, un grafo k-regolare con n vertici ne ha nk/2, e un albero con n vertici ha n − 1 lati.

Matrice di adiacenza

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 0
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 0 1 0

Vicini comuni

(M²)AC = 0·1 + 1·1 + 1·0 + 0·0 + 0·0 = 1

Risposta

N = 1

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms