Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

La visita in ampiezza (BFS) su un grafo non pesato trova:

  1. AUn ordinamento topologico in tutti i grafi
  2. BL'albero ricoprente minimo
  3. CI cammini minimi in numero di archi dal nodo di partenza
  4. DI cammini minimi in grafi che contengono archi con peso negativo
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Quale affermazione sulla selezione del k-esimo elemento più piccolo di un array non ordinato è corretta?

  1. AIl quickselect richiede O(log n) nel caso peggiore, perché ricorre su un solo lato del pivot
  2. BLa selezione richiede sempre Ω(n log n) perché richiede un ordinamento
  3. CIl quickselect richiede O(n) atteso, e la mediana delle mediane garantisce O(n) nel caso peggiore
  4. DLa selezione è possibile solo in O(n²)
3.Strutture datiMedia

Come si inserisce un nuovo elemento in un heap binario?

  1. ASi ricostruisce da zero l'intero heap
  2. BLo si pone alla fine dell'array e lo si fa risalire finché viola la proprietà di heap
  3. CLo si inserisce nella posizione ordinata spostando di un posto a destra tutti gli elementi più grandi
  4. DLo si pone nella radice e lo si fa scendere
4.Strutture datiDifficile

Quale affermazione sull'heapsort è corretta?

  1. AÈ stabile e richiede O(n) memoria aggiuntiva
  2. BOrdina sul posto in tempo O(n log n) nel caso peggiore ma non è stabile
  3. CRichiede tempo O(n) su qualsiasi input
  4. DRichiede un albero binario di ricerca come memoria aggiuntiva, quindi usa O(n) memoria extra
5.Teoria dei grafiMedia

Quanti cicli hamiltoniani diversi H ha il grafo completo K7? I cicli che differiscono solo per il vertice iniziale o per il verso contano come lo stesso.

K7
H =
6.Teoria dei grafiDifficile
1017713219183ABCDEF

Trova il peso totale W di un albero di copertura minimo del grafo pesato.

|V| = 6|E| = 8
W =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: C · I cammini minimi in numero di archi dal nodo di partenza

Perché è questa la risposta

La BFS visita i nodi in ordine di distanza (in archi) dalla sorgente, quindi trova i cammini minimi non pesati in O(V + E).

Risposta

C · I cammini minimi in numero di archi dal nodo di partenza
2.Algoritmi e complessità

Risposta: C · Il quickselect richiede O(n) atteso, e la mediana delle mediane garantisce O(n) nel caso peggiore

Perché è questa la risposta

Il lavoro atteso del quickselect è n + n/2 + n/4 + ... = O(n) con pivot casuali; scegliere il pivot come mediana delle mediane rende lineare il caso peggiore.

Risposta

C · Il quickselect richiede O(n) atteso, e la mediana delle mediane garantisce O(n) nel caso peggiore
3.Strutture dati

Risposta: B · Lo si pone alla fine dell'array e lo si fa risalire finché viola la proprietà di heap

Perché è questa la risposta

Aggiungere alla fine mantiene l'albero completo; gli scambi con il genitore ripristinano l'ordine in O(log n) passi.

Risposta

B · Lo si pone alla fine dell'array e lo si fa risalire finché viola la proprietà di heap
4.Strutture dati

Risposta: B · Ordina sul posto in tempo O(n log n) nel caso peggiore ma non è stabile

Perché è questa la risposta

L'heapsort costruisce un max-heap ed estrae il massimo n volte all'interno dello stesso array; gli scambi a lunga distanza possono riordinare chiavi uguali.

Risposta

B · Ordina sul posto in tempo O(n log n) nel caso peggiore ma non è stabile
5.Teoria dei grafi

Risposta: H = 360

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Conta

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

Risposta

H = 360
6.Teoria dei grafi

Risposta: W = 46

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Algoritmo di Kruskal

CE (2): prendi
BE (3): prendi
BC (7): salta, chiude un ciclo
AB (10): prendi
BD (13): prendi
AC (17): salta, chiude un ciclo
EF (18): prendi

Peso totale

W = 2 + 3 + 10 + 13 + 18 = 46

Risposta

W = 46

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