Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Qual è il tempo di esecuzione del radix sort LSD su n interi con d cifre in base k?

  1. AO(n²)
  2. BO(d(n + k))
  3. CO(n log n)
  4. DO(dn log k)
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Qual è la complessità temporale di: for i = 1 to n: for (j = i; j ≤ n; j = j + i) lavoro O(1)?

  1. AO(n √n)
  2. BO(n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n²)
3.Strutture datiMedia

Quale struttura dati usa un programma in esecuzione per tenere traccia delle chiamate di funzione attive e delle loro variabili locali?

  1. AUna tabella hash di funzioni
  2. BUn albero binario di ricerca di frame
  3. CLa coda della memoria heap
  4. DLo stack delle chiamate
4.Strutture datiDifficile

La complessità temporale di decrease-key in un heap binario (nota la posizione dell'elemento) è:

  1. AO(1)
  2. BO(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(n log n)
5.Teoria dei grafiMedia
ABCDEFGCircuito eulerianoCammino euleriano, nessun circuitonessuna delle due

Il grafo connesso ha un circuito euleriano, un cammino euleriano che non è un circuito, oppure nessuno dei due? Clicca la tua risposta.

|V| = 7|E| = 8
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Cammino euleriano, nessun circuito
  3. 3nessuna delle due
6.Teoria dei grafiDifficile
6321112215126ABCDEFG

Usa l’algoritmo di Dijkstra per trovare la lunghezza d(F) del cammino minimo da A a F nel grafo pesato.

partenza: Aarrivo: F
d(F) =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: B · O(d(n + k))

Perché è questa la risposta

Ciascuna delle d passate è un counting sort che costa O(n + k), quindi per d e k fissati il totale è lineare in n.

Risposta

B · O(d(n + k))
2.Algoritmi e complessità

Risposta: C · O(n log n)

Perché è questa la risposta

Il totale è n / 1 + n / 2 + ... + n / n = n × Hn, e il numero armonico Hn è Θ(log n).

Risposta

C · O(n log n)
3.Strutture dati

Risposta: D · Lo stack delle chiamate

Perché è questa la risposta

Ogni chiamata inserisce un record di attivazione (stack frame) e ogni ritorno lo estrae, ed è per questo che la chiamata più recente termina per prima.

Risposta

D · Lo stack delle chiamate
4.Strutture dati

Risposta: B · O(log n)

Perché è questa la risposta

Dopo aver diminuito la chiave, l'elemento risale (sift-up) al massimo per l'altezza dell'heap. Gli heap di Fibonacci ottengono decrease-key in O(1) ammortizzato.

Risposta

B · O(log n)
5.Teoria dei grafi

Risposta: nessuna delle due

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Gradi

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 4, deg(D) = 3, deg(E) = 2, deg(F) = 1, deg(G) = 2

Vertici dispari

A, B, D, F → 4
nessuna delle due

Risposta

nessuna delle due
6.Teoria dei grafi

Risposta: d(F) = 18

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Dijkstra passo per passo

Ogni riga: il vertice fissato, la sua distanza definitiva e i vertici adiacenti la cui distanza migliora.

A (0): B: 6, C: 3
C (3): B: 5, E: 4, G: 18
E (4): G: 10
B (5): D: 16, G: 7
G (7)
D (16): F: 18
F (18)

Cammino minimo

A → C → B → D → F
d(F) = 18

Risposta

d(F) = 18

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