Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

Nuovi esercizi Torna al corso

Nella finestra di stampa scegli “Salva come PDF” per conservarne una copia sul tuo dispositivo.

1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano: Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Grafo regolare: |E| = n·k/2
Albero e foresta: |E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero: circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in K_n: (n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L: (Mᴸ)_ij

Metodo

Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Un algoritmo greedy (goloso):

ACompie la scelta localmente migliore a ogni passo
BUsa solo la ricorsione
CProva ogni soluzione possibile
DFornisce sempre la soluzione ottima

2.Algoritmi e complessitàDifficile

L'insertion sort richiede O(n) su un input ordinato. Questo contraddice il limite inferiore Ω(n log n) per l'ordinamento per confronti?

ANo, il limite inferiore si applica al caso peggiore su tutti gli input, non a ogni input
BNo, perché l'insertion sort non è un ordinamento per confronti
CSì, quindi il limite inferiore è sbagliato
DSì, ma solo per array più corti di 100

3.Strutture datiMedia

A che cosa serve un nodo sentinella (fittizio) in una lista concatenata?

AA rendere la lista ordinata
BA impedire che la lista cresca oltre un numero massimo fisso di nodi
CA memorizzare il numero di elementi
DA semplificare il codice eliminando i casi particolari in testa o in coda

4.Strutture datiDifficile

Nell'algoritmo di Kruskal per l'albero ricoprente minimo, a che cosa serve la struttura union-find?

AA scegliere il vertice di partenza
BA verificare se i due estremi di un arco sono già collegati
CA ordinare gli archi per peso
DA memorizzare la distanza corrente di ogni vertice dalla sorgente durante la visita

5.Teoria dei grafiMedia

Un albero ha 4 vertici di grado 3, 3 vertici di grado 5, 2 vertici di grado 2, e tutti gli altri suoi vertici sono foglie (grado 1). Quante foglie L ha?

4 × deg 33 × deg 52 × deg 2

L =

6.Teoria dei grafiDifficile

Trova il peso totale W di un albero di copertura minimo del grafo pesato.

|V| = 7|E| = 10

W =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: A · Compie la scelta localmente migliore a ogni passo

Perché è questa la risposta

Gli algoritmi greedy sono veloci e ottimi per alcuni problemi (ad es. Dijkstra, codifica di Huffman) ma non in generale (ad es. il problema del resto con alcuni sistemi di monete).

Risposta

A · Compie la scelta localmente migliore a ogni passo

2.Algoritmi e complessità

Risposta: A · No, il limite inferiore si applica al caso peggiore su tutti gli input, non a ogni input

Perché è questa la risposta

Il limite dice che ogni ordinamento per confronti richiede circa n log n confronti su qualche input di dimensione n; input particolari possono essere molto più veloci.

Risposta

A · No, il limite inferiore si applica al caso peggiore su tutti gli input, non a ogni input

3.Strutture dati

Risposta: D · A semplificare il codice eliminando i casi particolari in testa o in coda

Perché è questa la risposta

Con una sentinella ogni nodo reale ha un predecessore, quindi inserire o eliminare in testa non richiede una gestione speciale.

Risposta

D · A semplificare il codice eliminando i casi particolari in testa o in coda

4.Strutture dati

Risposta: B · A verificare se i due estremi di un arco sono già collegati

Perché è questa la risposta

Find indica se entrambi gli estremi sono nella stessa componente; in caso contrario l'arco viene aggiunto e union fonde le componenti.

Risposta

B · A verificare se i due estremi di un arco sono già collegati

5.Teoria dei grafi

Risposta: L = 15

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; K_n ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Lemma delle strette di mano per un albero

L + 31 = 2(L + 9) − 2

L = 15

Risposta

L = 15

Scorciatoia: L = 2 + Σ (d − 2) sui vertici di grado d ≥ 3.

6.Teoria dei grafi

Risposta: W = 53

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Algoritmo di Kruskal

BD (1): prendi

BC (6): prendi

EF (9): prendi

AC (10): prendi

GC (12): prendi

GD (14): salta, chiude un ciclo

DE (15): prendi

Peso totale

W = 1 + 6 + 9 + 10 + 12 + 15 = 53

Risposta

W = 53

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms