Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

La programmazione dinamica è utile quando un problema presenta:

  1. ASolo input casuali
  2. BNessun sottoproblema, quindi si risolve in un solo passo
  3. CUn unico ciclo
  4. DSottoproblemi sovrapposti e sottostruttura ottima
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Per dimostrare che un nuovo problema X è NP-difficile, che cosa devi fare?

  1. ARidurre in tempo polinomiale X a un problema NP-difficile noto
  2. BDimostrare che X si può verificare in tempo polinomiale
  3. CDimostrare che X non ha un algoritmo polinomiale per input piccoli
  4. DRidurre in tempo polinomiale un problema NP-difficile noto a X
3.Strutture datiMedia

Una visita in ordine (in-order) di un albero binario di ricerca visita le chiavi in:

  1. AOrdine crescente
  2. BOrdine sempre decrescente
  3. COrdine per livelli
  4. DOrdine di inserimento
4.Strutture datiDifficile

Senza unione per rango né compressione dei cammini, qual è il costo nel caso peggiore di una singola find in una struttura union-find con n elementi?

  1. AO(log n)
  2. BO(α(n))
  3. CO(n)
  4. DO(1)
5.Teoria dei grafiMedia

Quanti cicli hamiltoniani diversi H ha il grafo completo K8? I cicli che differiscono solo per il vertice iniziale o per il verso contano come lo stesso.

K8
H =
6.Teoria dei grafiDifficile
14718611516ABCDE

L’algoritmo di Prim costruisce un albero di copertura minimo a partire dal vertice C. Clicca il lato che aggiunge come lato numero 4.

partenza: Ck = 4
  1. 1lato AB
  2. 2lato AC
  3. 3lato BC
  4. 4lato BD
  5. 5lato CE
  6. 6lato DE
  7. 7lato BE

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: D · Sottoproblemi sovrapposti e sottostruttura ottima

Perché è questa la risposta

Memorizzare i risultati dei sottoproblemi sovrapposti (memoizzazione o tabulazione) evita lavoro ripetuto, trasformando algoritmi esponenziali in polinomiali.

Risposta

D · Sottoproblemi sovrapposti e sottostruttura ottima
2.Algoritmi e complessità

Risposta: D · Ridurre in tempo polinomiale un problema NP-difficile noto a X

Perché è questa la risposta

Se un problema difficile noto può essere trasformato efficientemente in X, un algoritmo veloce per X risolverebbe anche il problema noto.

Risposta

D · Ridurre in tempo polinomiale un problema NP-difficile noto a X
3.Strutture dati

Risposta: A · Ordine crescente

Perché è questa la risposta

Visitare il sottoalbero sinistro, poi il nodo e poi il sottoalbero destro restituisce le chiavi del BST in ordine.

Risposta

A · Ordine crescente
4.Strutture dati

Risposta: C · O(n)

Perché è questa la risposta

Le unioni ingenue possono collegare gli alberi in una lunga catena, quindi find può dover seguire n − 1 puntatori al genitore; le due euristiche la rendono quasi costante.

Risposta

C · O(n)
5.Teoria dei grafi

Risposta: H = 2520

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Conta

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

Risposta

H = 2520
6.Teoria dei grafi

Risposta: lato BD

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Algoritmo di Prim

1. CE (1)
2. AC (7)
3. AB (14)
4. BD (6)

lato numero 4

BD

Risposta

lato BD

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