Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Che cosa misura l'analisi ammortizzata?

  1. AIl costo della singola operazione più costosa in un punto qualsiasi della sequenza
  2. BIl costo medio per operazione su una sequenza di operazioni nel caso peggiore
  3. CIl costo atteso su input casuali
  4. DIl costo di un algoritmo sull'input migliore
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Perché una ricerca in una tabella hash è in media O(1) ma nel caso peggiore O(n)?

  1. ALe chiavi devono prima essere ordinate
  2. BGli array hanno accesso O(n)
  3. CMolte chiavi possono collidere nello stesso bucket
  4. DLe funzioni hash sono lente
3.Strutture datiMedia

Qual è il valore dell'espressione postfissa 3 4 + 2 * ?

  1. A14
  2. B10
  3. C24
  4. D11
4.Strutture datiDifficile

Perché una tabella hash funzioni correttamente, quale regola devono rispettare hash e uguaglianza?

  1. AChiavi diverse devono avere valori hash diversi
  2. BChiavi uguali devono avere valori hash uguali
  3. CValori hash uguali implicano chiavi uguali
  4. DI valori hash devono essere numeri primi
5.Teoria dei grafiMedia

Quanti cicli hamiltoniani diversi H ha il grafo completo K4? I cicli che differiscono solo per il vertice iniziale o per il verso contano come lo stesso.

K4
H =
6.Teoria dei grafiDifficile
ABCDEF

Quanti cammini di lunghezza 3 vanno da D a C? Un cammino può ripetere vertici e lati. Chiama il numero N.

M = matrice di adiacenzaL = 3
N =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: B · Il costo medio per operazione su una sequenza di operazioni nel caso peggiore

Perché è questa la risposta

L'analisi ammortizzata distribuisce il costo di rare operazioni costose su molte operazioni economiche, dando una media garantita per qualsiasi sequenza.

Risposta

B · Il costo medio per operazione su una sequenza di operazioni nel caso peggiore
2.Algoritmi e complessità

Risposta: C · Molte chiavi possono collidere nello stesso bucket

Perché è questa la risposta

Con una buona funzione hash e un fattore di carico adeguato, i bucket restano in media corti; un hashing malevolo o scadente può mettere tutte le chiavi in un solo bucket.

Risposta

C · Molte chiavi possono collidere nello stesso bucket
3.Strutture dati

Risposta: A · 14

Perché è questa la risposta

Push di 3 e 4, + dà 7; push di 2, * dà 7 × 2 = 14.

Risposta

A · 14
4.Strutture dati

Risposta: B · Chiavi uguali devono avere valori hash uguali

Perché è questa la risposta

Se due chiavi uguali avessero hash diversi verrebbero memorizzate in bucket diversi e le ricerche fallirebbero; chiavi diverse possono invece condividere un hash.

Risposta

B · Chiavi uguali devono avere valori hash uguali
5.Teoria dei grafi

Risposta: H = 3

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Conta

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

Risposta

H = 3
6.Teoria dei grafi

Risposta: N = 2

Gradi: il grado di un vertice è il numero di lati che vi arrivano. Ogni lato ha due estremi, quindi i gradi sommano al doppio del numero di lati: Σ deg(v) = 2|E| (il lemma delle strette di mano). Il numero di vertici di grado dispari è quindi pari. Kn ha n(n − 1)/2 lati, un grafo k-regolare con n vertici ne ha nk/2, e un albero con n vertici ha n − 1 lati.

Matrice di adiacenza

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 0 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 0 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Un altro passo

(M³)DC = 0·1 + 1·1 + 1·0 + 2·0 + 1·1 + 1·0 = 2

Risposta

N = 2

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