Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Una funzione esegue un ciclo di n iterazioni e poi, separatamente, un altro ciclo di n iterazioni. Qual è la sua complessità temporale?

  1. AO(2ⁿ)
  2. BO(log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n)
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Quale affermazione sulla selezione del k-esimo elemento più piccolo di un array non ordinato è corretta?

  1. ALa selezione è possibile solo in O(n²)
  2. BIl quickselect richiede O(log n) nel caso peggiore, perché ricorre su un solo lato del pivot
  3. CIl quickselect richiede O(n) atteso, e la mediana delle mediane garantisce O(n) nel caso peggiore
  4. DLa selezione richiede sempre Ω(n log n) perché richiede un ordinamento
3.Strutture datiMedia

Un trie (albero dei prefissi) è particolarmente efficiente per:

  1. AOrdinare numeri
  2. BRicerche per prefisso, come il completamento automatico
  3. CMemorizzare matrici
  4. DTrovare cammini minimi
4.Strutture datiDifficile

Inserendo una chiave in un albero AVL il sottoalbero sinistro di un nodo diventa troppo alto, e la nuova chiave è finita nel sottoalbero sinistro del suo figlio sinistro (caso sinistra-sinistra). Quale correzione si applica?

  1. AUna rotazione a sinistra sul figlio, poi una rotazione a destra sul nodo
  2. BUna singola rotazione a destra sul nodo sbilanciato
  3. CLa ricolorazione del nodo e del figlio
  4. DUna singola rotazione a sinistra sul nodo sbilanciato
5.Teoria dei grafiMedia
ABCDEFCircuito eulerianoCammino euleriano, nessun circuitonessuna delle due

Il grafo connesso ha un circuito euleriano, un cammino euleriano che non è un circuito, oppure nessuno dei due? Clicca la tua risposta.

|V| = 6|E| = 7
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Cammino euleriano, nessun circuito
  3. 3nessuna delle due
6.Teoria dei grafiDifficile
12148111821761ABCDEF

L’algoritmo di Prim costruisce un albero di copertura minimo a partire dal vertice F. Clicca il lato che aggiunge come lato numero 3.

partenza: Fk = 3
  1. 1lato AB
  2. 2lato AC
  3. 3lato BC
  4. 4lato BD
  5. 5lato CE
  6. 6lato DE
  7. 7lato DF
  8. 8lato EF
  9. 9lato BE

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: D · O(n)

Perché è questa la risposta

n + n = 2n, e i fattori costanti si eliminano, quindi la funzione è O(n).

Risposta

D · O(n)
2.Algoritmi e complessità

Risposta: C · Il quickselect richiede O(n) atteso, e la mediana delle mediane garantisce O(n) nel caso peggiore

Perché è questa la risposta

Il lavoro atteso del quickselect è n + n/2 + n/4 + ... = O(n) con pivot casuali; scegliere il pivot come mediana delle mediane rende lineare il caso peggiore.

Risposta

C · Il quickselect richiede O(n) atteso, e la mediana delle mediane garantisce O(n) nel caso peggiore
3.Strutture dati

Risposta: B · Ricerche per prefisso, come il completamento automatico

Perché è questa la risposta

I trie memorizzano le stringhe carattere per carattere lungo i percorsi, quindi ricerche e interrogazioni per prefisso richiedono un tempo proporzionale alla lunghezza della chiave.

Risposta

B · Ricerche per prefisso, come il completamento automatico
4.Strutture dati

Risposta: B · Una singola rotazione a destra sul nodo sbilanciato

Perché è questa la risposta

Nel caso sinistra-sinistra una rotazione a destra solleva il figlio sinistro e ripristina il bilanciamento; i casi a zig-zag richiedono una doppia rotazione.

Risposta

B · Una singola rotazione a destra sul nodo sbilanciato
5.Teoria dei grafi

Risposta: Cammino euleriano, nessun circuito

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Gradi

deg(A) = 1, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 4, deg(F) = 1

Vertici dispari

A, F → 2
Cammino euleriano, nessun circuito

Risposta

Cammino euleriano, nessun circuito

Il cammino euleriano parte da un vertice dispari e termina nell’altro.

6.Teoria dei grafi

Risposta: lato DE

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Algoritmo di Prim

1. EF (6)
2. BE (1)
3. DE (2)
4. BC (8)
5. AB (12)

lato numero 3

DE

Risposta

lato DE

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