Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Perché la programmazione dinamica non dà un vero guadagno di velocità per il merge sort?

  1. ALa programmazione dinamica funziona solo sui problemi su grafi, non sugli array
  2. BIl merge sort è già O(n)
  3. CIl merge sort non ha una struttura ricorsiva
  4. DI suoi sottoproblemi non si sovrappongono, quindi non c'è nulla da riutilizzare
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Perché l'algoritmo di Dijkstra può dare risultati errati quando alcuni pesi degli archi sono negativi?

  1. AUn vertice viene considerato definitivo quando è estratto, ma un arco negativo successivo potrebbe ancora dargli un cammino più breve
  2. BFunziona solo sui grafi non orientati
  3. CI numeri negativi non si possono memorizzare in una coda di priorità
  4. DEntra in un ciclo infinito a ogni arco negativo
3.Strutture datiMedia

Come funziona extract-min in un min-heap binario?

  1. ASi rimuove la radice e si spostano tutti gli elementi di una posizione a sinistra
  2. BSi sposta l'ultimo elemento nella radice e lo si fa scendere
  3. CSi rimuove l'ultimo elemento dell'array
  4. DSi cercano in tutte le foglie il nuovo minimo
4.Strutture datiDifficile

In un buffer circolare, front == rear può significare sia vuoto sia pieno. Qual è un modo comune per distinguere i due casi?

  1. AMantenere un contatore separato degli elementi, oppure lasciare sempre una posizione inutilizzata
  2. BMemorizzare front e rear nella stessa variabile
  3. CRendere la dimensione del buffer una potenza di due
  4. DSvuotare sempre il buffer ogni volta che front è uguale a rear, così lo stato è vuoto
5.Teoria dei grafiMedia

Un albero ha 2 vertici di grado 4, 2 vertici di grado 5, e tutti gli altri suoi vertici sono foglie (grado 1). Quante foglie L ha?

2 × deg 42 × deg 5
L =
6.Teoria dei grafiDifficile
711385136ABCDE

Trova il peso totale W di un albero di copertura minimo del grafo pesato.

|V| = 5|E| = 7
W =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: D · I suoi sottoproblemi non si sovrappongono, quindi non c'è nulla da riutilizzare

Perché è questa la risposta

Le metà del merge sort sono disgiunte e ciascuna viene risolta una volta; la PD aiuta solo quando i sottoproblemi si ripetono, come in Fibonacci.

Risposta

D · I suoi sottoproblemi non si sovrappongono, quindi non c'è nulla da riutilizzare
2.Algoritmi e complessità

Risposta: A · Un vertice viene considerato definitivo quando è estratto, ma un arco negativo successivo potrebbe ancora dargli un cammino più breve

Perché è questa la risposta

Il passo greedy si basa su pesi non negativi perché le distanze estratte siano definitive; quando i pesi possono essere negativi si usa Bellman–Ford.

Risposta

A · Un vertice viene considerato definitivo quando è estratto, ma un arco negativo successivo potrebbe ancora dargli un cammino più breve
3.Strutture dati

Risposta: B · Si sposta l'ultimo elemento nella radice e lo si fa scendere

Perché è questa la risposta

L'ultimo elemento riempie il vuoto nella radice e viene scambiato con il figlio minore finché la proprietà di heap non è soddisfatta, in O(log n).

Risposta

B · Si sposta l'ultimo elemento nella radice e lo si fa scendere
4.Strutture dati

Risposta: A · Mantenere un contatore separato degli elementi, oppure lasciare sempre una posizione inutilizzata

Perché è questa la risposta

Con un contatore, vuoto significa count = 0 e pieno significa count = capacità; con una posizione sempre vuota, pieno si definisce come (rear + 1) mod n == front.

Risposta

A · Mantenere un contatore separato degli elementi, oppure lasciare sempre una posizione inutilizzata
5.Teoria dei grafi

Risposta: L = 12

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Lemma delle strette di mano per un albero

L + 18 = 2(L + 4) − 2
L = 12

Risposta

L = 12

Scorciatoia: L = 2 + Σ (d − 2) sui vertici di grado d ≥ 3.

6.Teoria dei grafi

Risposta: W = 23

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Algoritmo di Kruskal

BC (3): prendi
CE (5): prendi
BE (6): salta, chiude un ciclo
AB (7): prendi
BD (8): prendi

Peso totale

W = 3 + 5 + 7 + 8 = 23

Risposta

W = 23

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