Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano: Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Grafo regolare: |E| = n·k/2
Albero e foresta: |E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero: circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in K_n: (n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L: (Mᴸ)_ij

Metodo

Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Qual è la complessità temporale dell'algoritmo di Bellman–Ford su un grafo con V vertici ed E archi?

AO(V³ × E)
BO(V + E)
CO(V × E)
DO(E log V)

2.Algoritmi e complessitàDifficile

Il problema dello zaino 0/1 risolto con la programmazione dinamica richiede tempo O(nW). Perché si dice pseudo-polinomiale?

APerché n è sempre piccolo
BW è un numero, quindi il tempo è esponenziale nel numero di bit usati per scrivere W
CPerché funziona solo per W = 0
DPerché l'algoritmo è randomizzato e il suo tempo di esecuzione varia a ogni input

3.Strutture datiMedia

Come funziona extract-min in un min-heap binario?

ASi cercano in tutte le foglie il nuovo minimo
BSi rimuove la radice e si spostano tutti gli elementi di una posizione a sinistra
CSi rimuove l'ultimo elemento dell'array
DSi sposta l'ultimo elemento nella radice e lo si fa scendere

4.Strutture datiDifficile

Un oggetto è memorizzato come chiave in una hash map, e poi viene modificato un campo usato dalla sua funzione hash. Qual è il risultato probabile?

ANon cambia nulla, perché l'hash di una chiave si calcola una sola volta all'avvio del programma
BLa ricerca dell'oggetto può fallire perché si trova nel bucket corrispondente al vecchio hash
CLa mappa solleva un errore nel momento in cui il campo cambia
DLa mappa sposta automaticamente la chiave nel nuovo bucket

5.Teoria dei grafiMedia

Un albero ha 3 vertici di grado 3, 3 vertici di grado 5, 2 vertici di grado 2, e tutti gli altri suoi vertici sono foglie (grado 1). Quante foglie L ha?

3 × deg 33 × deg 52 × deg 2

L =

6.Teoria dei grafiDifficile

Trova il peso totale W di un albero di copertura minimo del grafo pesato.

|V| = 7|E| = 10

W =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: C · O(V × E)

Perché è questa la risposta

Ciascuno dei V − 1 turni rilassa tutti gli E archi, da cui O(VE); in cambio gestisce pesi negativi degli archi.

Risposta

C · O(V × E)

2.Algoritmi e complessità

Risposta: B · W è un numero, quindi il tempo è esponenziale nel numero di bit usati per scrivere W

Perché è questa la risposta

Il tempo di esecuzione è polinomiale nel valore di W ma esponenziale nella sua lunghezza (log W bit); lo zaino 0/1 è NP-completo.

Risposta

B · W è un numero, quindi il tempo è esponenziale nel numero di bit usati per scrivere W

3.Strutture dati

Risposta: D · Si sposta l'ultimo elemento nella radice e lo si fa scendere

Perché è questa la risposta

L'ultimo elemento riempie il vuoto nella radice e viene scambiato con il figlio minore finché la proprietà di heap non è soddisfatta, in O(log n).

Risposta

D · Si sposta l'ultimo elemento nella radice e lo si fa scendere

4.Strutture dati

Risposta: B · La ricerca dell'oggetto può fallire perché si trova nel bucket corrispondente al vecchio hash

Perché è questa la risposta

La posizione della chiave è stata scelta in base al vecchio hash; con un nuovo hash le ricerche esaminano il bucket sbagliato, quindi le chiavi dovrebbero essere immutabili.

Risposta

B · La ricerca dell'oggetto può fallire perché si trova nel bucket corrispondente al vecchio hash

5.Teoria dei grafi

Risposta: L = 14

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; K_n ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Lemma delle strette di mano per un albero

L + 28 = 2(L + 8) − 2

L = 14

Risposta

L = 14

Scorciatoia: L = 2 + Σ (d − 2) sui vertici di grado d ≥ 3.

6.Teoria dei grafi

Risposta: W = 48

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Algoritmo di Kruskal

CE (1): prendi

GB (4): prendi

GE (5): prendi

GC (7): salta, chiude un ciclo

AB (10): prendi

AC (11): salta, chiude un ciclo

DF (12): prendi

GD (16): prendi

Peso totale

W = 1 + 4 + 5 + 10 + 12 + 16 = 48

Risposta

W = 48

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