Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Nel problema della selezione di attività, quale regola greedy dà sempre il numero massimo di attività non sovrapposte?

  1. AScegliere l'attività che inizia prima
  2. BScegliere l'attività che termina prima, poi ripetere con quelle compatibili
  3. CScegliere per prima l'attività con meno sovrapposizioni, poi ripetere con quelle compatibili
  4. DScegliere per prima l'attività più breve
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Per quale variante dello zaino la regola greedy "prendi gli oggetti in ordine di valore per peso" dà sempre una risposta ottima?

  1. ALo zaino frazionario, in cui gli oggetti si possono dividere
  2. BEntrambe le varianti
  3. CNessuna delle due varianti
  4. DLo zaino 0/1, in cui gli oggetti si devono prendere sempre interi
3.Strutture datiMedia

Un'applicazione ha bisogno di ricerche veloci, ma deve anche elencare le chiavi in ordine e rispondere a interrogazioni su intervalli. Quale struttura è la più adatta?

  1. AUna lista concatenata non ordinata
  2. BUna pila
  3. CUn albero binario di ricerca bilanciato
  4. DUna tabella hash
4.Strutture datiDifficile

In che modo un radix tree (trie compresso) migliora un trie semplice?

  1. AConserva solo la prima lettera di ogni parola
  2. BFonde le catene di nodi con un solo figlio in un unico arco etichettato con una stringa
  3. CMemorizza ogni parola in una tabella hash alla radice invece che in nodi separati
  4. DOrdina i figli di ogni nodo per frequenza
5.Teoria dei grafiMedia

Un albero ha 4 vertici di grado 3, 2 vertici di grado 5, 4 vertici di grado 2, e tutti gli altri suoi vertici sono foglie (grado 1). Quante foglie L ha?

4 × deg 32 × deg 54 × deg 2
L =
6.Teoria dei grafiDifficile
64415146911ABCDEF

Usa l’algoritmo di Dijkstra per trovare la lunghezza d(F) del cammino minimo da A a F nel grafo pesato.

partenza: Aarrivo: F
d(F) =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: B · Scegliere l'attività che termina prima, poi ripetere con quelle compatibili

Perché è questa la risposta

Si può dimostrare con un argomento di scambio che scegliere il tempo di fine più precoce è ottimo; le altre regole hanno controesempi.

Risposta

B · Scegliere l'attività che termina prima, poi ripetere con quelle compatibili
2.Algoritmi e complessità

Risposta: A · Lo zaino frazionario, in cui gli oggetti si possono dividere

Perché è questa la risposta

Quando gli oggetti si possono dividere, prendere prima il rapporto migliore è ottimo; nello zaino 0/1 un oggetto con rapporto alto può impedire una combinazione migliore, quindi serve la programmazione dinamica.

Risposta

A · Lo zaino frazionario, in cui gli oggetti si possono dividere
3.Strutture dati

Risposta: C · Un albero binario di ricerca bilanciato

Perché è questa la risposta

Un BST bilanciato offre ricerche in O(log n) e mantiene le chiavi ordinate, quindi la visita in ordine e le interrogazioni su intervalli sono semplici; una tabella hash sparpaglia le chiavi.

Risposta

C · Un albero binario di ricerca bilanciato
4.Strutture dati

Risposta: B · Fonde le catene di nodi con un solo figlio in un unico arco etichettato con una stringa

Perché è questa la risposta

Comprimere i cammini privi di ramificazioni riduce il numero di nodi e la memoria usata, mantenendo la ricerca per prefisso.

Risposta

B · Fonde le catene di nodi con un solo figlio in un unico arco etichettato con una stringa
5.Teoria dei grafi

Risposta: L = 12

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Lemma delle strette di mano per un albero

L + 30 = 2(L + 10) − 2
L = 12

Risposta

L = 12

Scorciatoia: L = 2 + Σ (d − 2) sui vertici di grado d ≥ 3.

6.Teoria dei grafi

Risposta: d(F) = 13

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Dijkstra passo per passo

Ogni riga: il vertice fissato, la sua distanza definitiva e i vertici adiacenti la cui distanza migliora.

A (0): B: 6, C: 4
C (4): E: 9
B (6): D: 7
D (7): F: 13
E (9)
F (13)

Cammino minimo

A → B → D → F
d(F) = 13

Risposta

d(F) = 13

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