Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano: Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Grafo regolare: |E| = n·k/2
Albero e foresta: |E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero: circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in K_n: (n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L: (Mᴸ)_ij

Metodo

Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Perché molte routine di ordinamento delle librerie passano all'insertion sort per sottoarray molto piccoli?

AGli algoritmi ricorsivi non gestiscono array con meno di 10 elementi
BL'insertion sort usa meno memoria di qualsiasi altro algoritmo di ordinamento per input grandi
CL'insertion sort è O(n log n) nel caso peggiore
DL'insertion sort ha poco overhead ed è veloce su input piccoli o quasi ordinati

2.Algoritmi e complessitàDifficile

Quale limite è corretto per log(n!)?

AΘ(log n)
BΘ(n log n)
CΘ(n²)
DΘ(n)

3.Strutture datiMedia

Che cosa è vero per la matrice di adiacenza di un grafo non orientato?

AÈ sempre triangolare superiore
BOgni riga contiene esattamente un 1
CLa sua diagonale principale contiene sempre degli uno
DÈ simmetrica rispetto alla diagonale principale

4.Strutture datiDifficile

Nell'algoritmo di Kruskal per l'albero ricoprente minimo, a che cosa serve la struttura union-find?

AA memorizzare la distanza corrente di ogni vertice dalla sorgente durante la visita
BA verificare se i due estremi di un arco sono già collegati
CA ordinare gli archi per peso
DA scegliere il vertice di partenza

5.Teoria dei grafiMedia

Il grafo connesso ha un circuito euleriano, un cammino euleriano che non è un circuito, oppure nessuno dei due? Clicca la tua risposta.

|V| = 5|E| = 6

1Circuito euleriano
2Cammino euleriano, nessun circuito
3nessuna delle due

6.Teoria dei grafiDifficile

Usa l’algoritmo di Dijkstra per trovare la lunghezza d(F) del cammino minimo da A a F nel grafo pesato.

partenza: Aarrivo: F

d(F) =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: D · L'insertion sort ha poco overhead ed è veloce su input piccoli o quasi ordinati

Perché è questa la risposta

Per n piccolo il semplice ciclo dell'insertion sort batte l'overhead della ricorsione di quicksort o merge sort, anche se è O(n²).

Risposta

D · L'insertion sort ha poco overhead ed è veloce su input piccoli o quasi ordinati

2.Algoritmi e complessità

Risposta: B · Θ(n log n)

Perché è questa la risposta

log(n!) ≤ n log n, e gli n / 2 fattori più grandi danno log(n!) ≥ (n / 2) log(n / 2); per questo l'ordinamento per confronti richiede Ω(n log n).

Risposta

B · Θ(n log n)

3.Strutture dati

Risposta: D · È simmetrica rispetto alla diagonale principale

Perché è questa la risposta

In un grafo non orientato l'arco {u, v} implica che siano impostati sia M[u][v] sia M[v][u], quindi la matrice coincide con la sua trasposta.

Risposta

D · È simmetrica rispetto alla diagonale principale

4.Strutture dati

Risposta: B · A verificare se i due estremi di un arco sono già collegati

Perché è questa la risposta

Find indica se entrambi gli estremi sono nella stessa componente; in caso contrario l'arco viene aggiunto e union fonde le componenti.

Risposta

B · A verificare se i due estremi di un arco sono già collegati

5.Teoria dei grafi

Risposta: Cammino euleriano, nessun circuito

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; K_n ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Gradi

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Vertici dispari

B, C → 2

Cammino euleriano, nessun circuito

Risposta

Cammino euleriano, nessun circuito

Il cammino euleriano parte da un vertice dispari e termina nell’altro.

6.Teoria dei grafi

Risposta: d(F) = 17

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Dijkstra passo per passo

Ogni riga: il vertice fissato, la sua distanza definitiva e i vertici adiacenti la cui distanza migliora.

A (0): B: 1, C: 3

B (1): C: 2, D: 15, E: 2

C (2)

E (2): D: 5, F: 17

D (5)

F (17)

Cammino minimo

A → B → E → F

d(F) = 17

Risposta

d(F) = 17

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