Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

Nuovi eserciziTorna al corso

Nella finestra di stampa scegli “Salva come PDF” per conservarne una copia sul tuo dispositivo.

1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Quanto spazio di stack usa una semplice funzione fattoriale ricorsiva fact(n) = n × fact(n − 1)?

  1. AO(n)
  2. BO(1)
  3. CO(log n)
  4. DO(n²)
2.Algoritmi e complessitàDifficile

L'ordinamento topologico è possibile solo per:

  1. AGrafi non orientati
  2. BGrafi con pesi negativi
  3. CGrafi orientati aciclici (DAG)
  4. DGrafi completi
3.Strutture datiMedia

Quanta memoria usa una lista di adiacenza per un grafo con V vertici ed E archi?

  1. AO(V²)
  2. BO(V × E)
  3. CO(V + E)
  4. DO(E²)
4.Strutture datiDifficile

Perché in un filtro di Bloom standard non si possono semplicemente eliminare gli elementi azzerandone i bit?

  1. AQuei bit possono appartenere anche ad altri elementi, il che causerebbe falsi negativi
  2. BI filtri di Bloom memorizzano gli elementi completi, che una volta sottoposti a hash non si possono più ritrovare
  3. CI bit di un filtro di Bloom non si possono modificare dopo la creazione
  4. DL'eliminazione porterebbe il tasso di falsi positivi al 100%
5.Teoria dei grafiMedia
ABCDEFCircuito eulerianoCammino euleriano, nessun circuitonessuna delle due

Il grafo connesso ha un circuito euleriano, un cammino euleriano che non è un circuito, oppure nessuno dei due? Clicca la tua risposta.

|V| = 6|E| = 7
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Cammino euleriano, nessun circuito
  3. 3nessuna delle due
6.Teoria dei grafiDifficile
ABCDEF

Quanti cammini chiusi di lunghezza 3 partono e terminano in F? Un cammino può ripetere vertici e lati. Chiama il numero N.

M = matrice di adiacenzaL = 3
N =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: A · O(n)

Perché è questa la risposta

La ricorsione arriva a n chiamate di profondità prima di qualsiasi ritorno, e ogni chiamata richiede un record di attivazione (stack frame), quindi usa O(n) spazio.

Risposta

A · O(n)
2.Algoritmi e complessità

Risposta: C · Grafi orientati aciclici (DAG)

Perché è questa la risposta

Un ordinamento topologico esiste se e solo se il grafo orientato non ha cicli; si può trovare in O(V + E) con la DFS o con l'algoritmo di Kahn.

Risposta

C · Grafi orientati aciclici (DAG)
3.Strutture dati

Risposta: C · O(V + E)

Perché è questa la risposta

Ogni vertice ha una lista e ogni arco compare una volta (orientato) o due volte (non orientato), per un totale di O(V + E).

Risposta

C · O(V + E)
4.Strutture dati

Risposta: A · Quei bit possono appartenere anche ad altri elementi, il che causerebbe falsi negativi

Perché è questa la risposta

Azzerare un bit condiviso farebbe sembrare assente un altro elemento; i filtri di Bloom a conteggio (counting Bloom filter) usano contatori invece di bit per permettere l'eliminazione.

Risposta

A · Quei bit possono appartenere anche ad altri elementi, il che causerebbe falsi negativi
5.Teoria dei grafi

Risposta: Circuito euleriano

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Gradi

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 4, deg(F) = 2

Vertici dispari

0
Circuito euleriano

Risposta

Circuito euleriano
6.Teoria dei grafi

Risposta: N = 2

Gradi: il grado di un vertice è il numero di lati che vi arrivano. Ogni lato ha due estremi, quindi i gradi sommano al doppio del numero di lati: Σ deg(v) = 2|E| (il lemma delle strette di mano). Il numero di vertici di grado dispari è quindi pari. Kn ha n(n − 1)/2 lati, un grafo k-regolare con n vertici ne ha nk/2, e un albero con n vertici ha n − 1 lati.

Matrice di adiacenza

A: 0 0 1 0 0 0
B: 0 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 0 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 0 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Un altro passo

(M³)FF = 0·0 + 2·0 + 0·0 + 1·1 + 1·1 + 2·0 = 2

Risposta

N = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms