Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano: Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Grafo regolare: |E| = n·k/2
Albero e foresta: |E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero: circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in K_n: (n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L: (Mᴸ)_ij

Metodo

Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Che cosa significa che un problema ha una sottostruttura ottima?

AOgni sottoproblema ha la stessa dimensione
BIl problema si può risolvere in tempo costante
CIl problema ha esattamente una soluzione ottima, condivisa da ogni sottoproblema
DUna soluzione ottima può essere costruita da soluzioni ottime dei suoi sottoproblemi

2.Algoritmi e complessitàDifficile

Un problema è NP-completo se:

AÈ risolvibile in tempo polinomiale
BÈ al di fuori di NP ma più difficile di tutti i problemi NP, come il problema della fermata
CAppartiene a NP e ogni problema NP si riduce a esso in tempo polinomiale
DÈ impossibile da risolvere

3.Strutture datiMedia

Qual è il valore dell'espressione postfissa 3 4 + 2 * ?

4.Strutture datiDifficile

Qual è il tempo di esecuzione della visita in ampiezza (BFS) su un grafo con V vertici memorizzato come matrice di adiacenza?

AO(V)
BO(V²)
CO(V + E)
DO(E log V)

5.Teoria dei grafiMedia

Un grafo connesso ha 18 vertici e 27 lati. Quanti lati k vanno tolti per ottenere un albero di copertura?

|V| = 18|E| = 27

k =

6.Teoria dei grafiDifficile

Usa l’algoritmo di Dijkstra per trovare la lunghezza d(G) del cammino minimo da A a G nel grafo pesato.

partenza: Aarrivo: G

d(G) =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: D · Una soluzione ottima può essere costruita da soluzioni ottime dei suoi sottoproblemi

Perché è questa la risposta

La sottostruttura ottima è necessaria sia agli algoritmi greedy sia alla programmazione dinamica per produrre risposte corrette.

Risposta

D · Una soluzione ottima può essere costruita da soluzioni ottime dei suoi sottoproblemi

2.Algoritmi e complessità

Risposta: C · Appartiene a NP e ogni problema NP si riduce a esso in tempo polinomiale

Perché è questa la risposta

I problemi NP-completi sono i più difficili in NP; un algoritmo polinomiale per uno di essi ne darebbe uno per tutto NP.

Risposta

C · Appartiene a NP e ogni problema NP si riduce a esso in tempo polinomiale

3.Strutture dati

Risposta: D · 14

Perché è questa la risposta

Push di 3 e 4, + dà 7; push di 2, * dà 7 × 2 = 14.

Risposta

D · 14

4.Strutture dati

Risposta: B · O(V²)

Perché è questa la risposta

Ognuno dei V vertici scorre una riga di V elementi, per un totale di O(V²); con le liste di adiacenza la BFS è O(V + E).

Risposta

B · O(V²)

5.Teoria dei grafi

Risposta: k = 10

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; K_n ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Lati di un albero di copertura

18 − 1 = 17

Lati da togliere

k = 27 − 17 = 10

Risposta

k = 10

6.Teoria dei grafi

Risposta: d(G) = 8

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Dijkstra passo per passo

Ogni riga: il vertice fissato, la sua distanza definitiva e i vertici adiacenti la cui distanza migliora.

A (0): B: 5

B (5): C: 6, D: 18, G: 8

C (6): E: 18

G (8)

D (18): F: 19

E (18)

F (19)

Cammino minimo

A → B → G

d(G) = 8

Risposta

d(G) = 8

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