Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Un quicksort usa sempre il primo elemento come pivot. Su quale input mostra il comportamento del caso peggiore?

  1. AUn array in ordine casuale
  2. BUn array con elementi tutti diversi
  3. CUn array di lunghezza 2
  4. DUn array già ordinato
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Perché qualsiasi ricerca basata su confronti in un array ordinato richiede Ω(log n) confronti nel caso peggiore?

  1. AUn albero di decisione con n esiti possibili deve avere profondità almeno log₂ n
  2. BOgni confronto richiede un tempo logaritmico
  3. COgni elemento deve essere confrontato almeno una volta
  4. DLa ricerca binaria è l'unico algoritmo possibile e richiede log₂ n confronti
3.Strutture datiMedia

In un min-heap binario memorizzato in un array (indici a partire da 0), i figli del nodo all'indice i si trovano a:

  1. Ai/2 e i/2 + 1
  2. B2i + 1 e 2i + 2
  3. C2i e 2i + 1
  4. Di + 1 e i + 2
4.Strutture datiDifficile

Un segment tree (albero dei segmenti) è tipicamente usato per:

  1. AImplementare uno stack
  2. BRispondere a interrogazioni su intervalli (come somme su intervalli) e aggiornamenti in O(log n)
  3. CMemorizzare gli archi di un grafo
  4. DOrdinare stringhe alfabeticamente memorizzando ogni prefisso in un nodo separato dell'albero
5.Teoria dei grafiMedia

Quanti cicli hamiltoniani diversi H ha il grafo completo K6? I cicli che differiscono solo per il vertice iniziale o per il verso contano come lo stesso.

K6
H =
6.Teoria dei grafiDifficile
36132414103ABCDEF

L’algoritmo di Dijkstra parte da A. Clicca il vertice che viene fissato (reso permanente) al passo 3; A stesso è il passo 1.

partenza: Apasso 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: D · Un array già ordinato

Perché è questa la risposta

Su un input ordinato il pivot è sempre il minimo, quindi una parte è vuota e l'altra ha n − 1 elementi, da cui O(n²).

Risposta

D · Un array già ordinato
2.Algoritmi e complessità

Risposta: A · Un albero di decisione con n esiti possibili deve avere profondità almeno log₂ n

Perché è questa la risposta

Ogni confronto al massimo dimezza l'insieme delle possibilità rimanenti, quindi distinguere n posizioni richiede almeno log₂ n confronti.

Risposta

A · Un albero di decisione con n esiti possibili deve avere profondità almeno log₂ n
3.Strutture dati

Risposta: B · 2i + 1 e 2i + 2

Perché è questa la risposta

Negli array con indici da 0, il figlio sinistro è a 2i + 1, il figlio destro a 2i + 2 e il genitore a ⌊(i − 1)/2⌋.

Risposta

B · 2i + 1 e 2i + 2
4.Strutture dati

Risposta: B · Rispondere a interrogazioni su intervalli (come somme su intervalli) e aggiornamenti in O(log n)

Perché è questa la risposta

Un segment tree memorizza valori aggregati per intervalli, supportando interrogazioni su intervalli e aggiornamenti puntuali in tempo O(log n).

Risposta

B · Rispondere a interrogazioni su intervalli (come somme su intervalli) e aggiornamenti in O(log n)
5.Teoria dei grafi

Risposta: H = 60

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Conta

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

Risposta

H = 60
6.Teoria dei grafi

Risposta: E

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Dijkstra passo per passo

1. A (0): B: 3
2. B (3): C: 9, D: 16, E: 6
3. E (6): C: 8, D: 10, F: 16
4. C (8)
5. D (10)
6. F (16)

passo 3

E

Risposta

E

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