Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano: Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Grafo regolare: |E| = n·k/2
Albero e foresta: |E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero: circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in K_n: (n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L: (Mᴸ)_ij

Metodo

Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Perché molte routine di ordinamento delle librerie passano all'insertion sort per sottoarray molto piccoli?

AL'insertion sort ha poco overhead ed è veloce su input piccoli o quasi ordinati
BL'insertion sort è O(n log n) nel caso peggiore
CL'insertion sort usa meno memoria di qualsiasi altro algoritmo di ordinamento per input grandi
DGli algoritmi ricorsivi non gestiscono array con meno di 10 elementi

2.Algoritmi e complessitàDifficile

L'algoritmo di Strassen moltiplica matrici usando 7 invece di 8 moltiplicazioni ricorsive di blocchi di metà dimensione. Qual è il suo tempo di esecuzione?

AΘ(n³)
BΘ(n²)
CΘ(n² log n)
DΘ(n^{log₂ 7}), circa n^2,81

3.Strutture datiMedia

Un trie (albero dei prefissi) è particolarmente efficiente per:

ATrovare cammini minimi
BRicerche per prefisso, come il completamento automatico
COrdinare numeri
DMemorizzare matrici

4.Strutture datiDifficile

Inserendo una chiave in un albero AVL il sottoalbero sinistro di un nodo diventa troppo alto, e la nuova chiave è finita nel sottoalbero sinistro del suo figlio sinistro (caso sinistra-sinistra). Quale correzione si applica?

AUna rotazione a sinistra sul figlio, poi una rotazione a destra sul nodo
BUna singola rotazione a destra sul nodo sbilanciato
CLa ricolorazione del nodo e del figlio
DUna singola rotazione a sinistra sul nodo sbilanciato

5.Teoria dei grafiMedia

Il grafo connesso ha un circuito euleriano, un cammino euleriano che non è un circuito, oppure nessuno dei due? Clicca la tua risposta.

|V| = 5|E| = 5

1Circuito euleriano
2Cammino euleriano, nessun circuito
3nessuna delle due

6.Teoria dei grafiDifficile

Trova il peso totale W di un albero di copertura minimo del grafo pesato.

|V| = 7|E| = 10

W =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: A · L'insertion sort ha poco overhead ed è veloce su input piccoli o quasi ordinati

Perché è questa la risposta

Per n piccolo il semplice ciclo dell'insertion sort batte l'overhead della ricorsione di quicksort o merge sort, anche se è O(n²).

Risposta

A · L'insertion sort ha poco overhead ed è veloce su input piccoli o quasi ordinati

2.Algoritmi e complessità

Risposta: D · Θ(n^{log₂ 7}), circa n^2,81

Perché è questa la risposta

Con a = 7 e b = 2, n^{log₂ 7} domina il lavoro di addizione O(n²), da cui circa n^2,81.

Risposta

D · Θ(n^{log₂ 7}), circa n^2,81

3.Strutture dati

Risposta: B · Ricerche per prefisso, come il completamento automatico

Perché è questa la risposta

I trie memorizzano le stringhe carattere per carattere lungo i percorsi, quindi ricerche e interrogazioni per prefisso richiedono un tempo proporzionale alla lunghezza della chiave.

Risposta

B · Ricerche per prefisso, come il completamento automatico

4.Strutture dati

Risposta: B · Una singola rotazione a destra sul nodo sbilanciato

Perché è questa la risposta

Nel caso sinistra-sinistra una rotazione a destra solleva il figlio sinistro e ripristina il bilanciamento; i casi a zig-zag richiedono una doppia rotazione.

Risposta

B · Una singola rotazione a destra sul nodo sbilanciato

5.Teoria dei grafi

Risposta: Cammino euleriano, nessun circuito

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; K_n ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Gradi

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 1

Vertici dispari

B, E → 2

Cammino euleriano, nessun circuito

Risposta

Cammino euleriano, nessun circuito

Il cammino euleriano parte da un vertice dispari e termina nell’altro.

6.Teoria dei grafi

Risposta: W = 50

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Algoritmo di Kruskal

GB (2): prendi

GC (4): prendi

GD (5): prendi

GE (7): prendi

BC (10): salta, chiude un ciclo

AC (12): prendi

DE (13): salta, chiude un ciclo

AB (16): salta, chiude un ciclo

BD (17): salta, chiude un ciclo

DF (20): prendi

Peso totale

W = 2 + 4 + 5 + 7 + 12 + 20 = 50

Risposta

W = 50

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