Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Quale algoritmo trova i cammini minimi da una sorgente in un grafo con pesi degli archi non negativi?

  1. AAlgoritmo di Dijkstra
  2. BBellman-Ford è necessario in tutti i casi
  3. CAlgoritmo di Kruskal
  4. DVisita in profondità (DFS)
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Perché una ricerca in una tabella hash è in media O(1) ma nel caso peggiore O(n)?

  1. ALe funzioni hash sono lente
  2. BMolte chiavi possono collidere nello stesso bucket
  3. CLe chiavi devono prima essere ordinate
  4. DGli array hanno accesso O(n)
3.Strutture datiMedia

Quale metodo di risoluzione delle collisioni memorizza le chiavi in collisione in una lista nello stesso bucket?

  1. AScansione quadratica (quadratic probing)
  2. BConcatenamento separato (separate chaining)
  3. CScansione lineare (linear probing)
  4. DDoppio hashing (double hashing)
4.Strutture datiDifficile

Quale affermazione sull'heapsort è corretta?

  1. ARichiede tempo O(n) su qualsiasi input
  2. BRichiede un albero binario di ricerca come memoria aggiuntiva, quindi usa O(n) memoria extra
  3. COrdina sul posto in tempo O(n log n) nel caso peggiore ma non è stabile
  4. DÈ stabile e richiede O(n) memoria aggiuntiva
5.Teoria dei grafiMedia

Quanti cicli hamiltoniani diversi H ha il grafo completo K5? I cicli che differiscono solo per il vertice iniziale o per il verso contano come lo stesso.

K5
H =
6.Teoria dei grafiDifficile
5151441456113ABCDEFG

Usa l’algoritmo di Dijkstra per trovare la lunghezza d(F) del cammino minimo da A a F nel grafo pesato.

partenza: Aarrivo: F
d(F) =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: A · Algoritmo di Dijkstra

Perché è questa la risposta

L'algoritmo di Dijkstra funziona con pesi non negativi; Bellman-Ford gestisce pesi negativi; Kruskal costruisce alberi ricoprenti minimi.

Risposta

A · Algoritmo di Dijkstra
2.Algoritmi e complessità

Risposta: B · Molte chiavi possono collidere nello stesso bucket

Perché è questa la risposta

Con una buona funzione hash e un fattore di carico adeguato, i bucket restano in media corti; un hashing malevolo o scadente può mettere tutte le chiavi in un solo bucket.

Risposta

B · Molte chiavi possono collidere nello stesso bucket
3.Strutture dati

Risposta: B · Concatenamento separato (separate chaining)

Perché è questa la risposta

Il concatenamento mantiene una lista concatenata (o un'altra struttura) per ogni bucket; l'indirizzamento aperto cerca un'altra posizione libera all'interno della tabella stessa.

Risposta

B · Concatenamento separato (separate chaining)
4.Strutture dati

Risposta: C · Ordina sul posto in tempo O(n log n) nel caso peggiore ma non è stabile

Perché è questa la risposta

L'heapsort costruisce un max-heap ed estrae il massimo n volte all'interno dello stesso array; gli scambi a lunga distanza possono riordinare chiavi uguali.

Risposta

C · Ordina sul posto in tempo O(n log n) nel caso peggiore ma non è stabile
5.Teoria dei grafi

Risposta: H = 12

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Conta

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

Risposta

H = 12
6.Teoria dei grafi

Risposta: d(F) = 29

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Dijkstra passo per passo

Ogni riga: il vertice fissato, la sua distanza definitiva e i vertici adiacenti la cui distanza migliora.

A (0): B: 5
B (5): D: 20, G: 11
G (11): C: 12
C (12): E: 26
D (20): E: 24, F: 34
E (24): F: 29
F (29)

Cammino minimo

A → B → D → E → F
d(F) = 29

Risposta

d(F) = 29

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