Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Qual è la complessità temporale dell'algoritmo standard di programmazione dinamica per la sottosequenza comune più lunga di stringhe di lunghezze m e n?

  1. AO(m + n)
  2. BO(mn log n)
  3. CO(mn)
  4. DO(2m+n)
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Quale affermazione sulla notazione o piccolo è corretta?

  1. An = o(n), perché ogni funzione è o piccolo di se stessa
  2. Bn = o(n²), ma n non è o(n)
  3. Cn² = o(n)
  4. D2n = o(n), perché 2n cresce lentamente
3.Strutture datiMedia

Una rete stradale ha 100,000 incroci, ciascuno collegato a circa altri 4. Quale rappresentazione è la più adatta?

  1. AMatrice di adiacenza
  2. BUn heap binario di archi
  3. CUn unico array ordinato di vertici
  4. DLista di adiacenza
4.Strutture datiDifficile

In una tabella hash con indirizzamento aperto, perché la cancellazione avviene spesso con un marcatore «lapide» (tombstone)?

  1. ALe lapidi velocizzano l'hashing
  2. BLe chiavi cancellate devono essere conservate per sempre per motivi di sicurezza, quindi le posizioni non si possono mai riutilizzare
  3. CSvuotare la posizione potrebbe interrompere la sequenza di scansione di altre chiavi
  4. DRende la tabella ordinata
5.Teoria dei grafiMedia

Quanti cicli hamiltoniani diversi H ha il grafo completo K4? I cicli che differiscono solo per il vertice iniziale o per il verso contano come lo stesso.

K4
H =
6.Teoria dei grafiDifficile
20191359162141118ABCDEFG

Trova il peso totale W di un albero di copertura minimo del grafo pesato.

|V| = 7|E| = 10
W =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: C · O(mn)

Perché è questa la risposta

La tabella ha (m + 1)(n + 1) celle e ciascuna si calcola in O(1) dalle vicine.

Risposta

C · O(mn)
2.Algoritmi e complessità

Risposta: B · n = o(n²), ma n non è o(n)

Perché è questa la risposta

f = o(g) significa che f(n) / g(n) tende a 0; n / n² tende a 0, ma n / n = 1 no.

Risposta

B · n = o(n²), ma n non è o(n)
3.Strutture dati

Risposta: D · Lista di adiacenza

Perché è questa la risposta

Una matrice richiederebbe 1010 celle, quasi tutte vuote; una lista di adiacenza memorizza solo le circa 400,000 voci degli archi.

Risposta

D · Lista di adiacenza
4.Strutture dati

Risposta: C · Svuotare la posizione potrebbe interrompere la sequenza di scansione di altre chiavi

Perché è questa la risposta

Se una posizione cancellata diventasse vuota, le ricerche successive potrebbero fermarsi in anticipo e non trovare chiavi collocate più avanti nella catena di scansione.

Risposta

C · Svuotare la posizione potrebbe interrompere la sequenza di scansione di altre chiavi
5.Teoria dei grafi

Risposta: H = 3

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Conta

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

Risposta

H = 3
6.Teoria dei grafi

Risposta: W = 59

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Algoritmo di Kruskal

EF (2): prendi
BD (5): prendi
CE (9): prendi
GC (11): prendi
BC (13): prendi
GB (14): salta, chiude un ciclo
DE (16): salta, chiude un ciclo
GD (18): salta, chiude un ciclo
AC (19): prendi

Peso totale

W = 2 + 5 + 9 + 11 + 13 + 19 = 59

Risposta

W = 59

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