Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Nel problema della selezione di attività, quale regola greedy dà sempre il numero massimo di attività non sovrapposte?

  1. AScegliere per prima l'attività più breve
  2. BScegliere per prima l'attività con meno sovrapposizioni, poi ripetere con quelle compatibili
  3. CScegliere l'attività che inizia prima
  4. DScegliere l'attività che termina prima, poi ripetere con quelle compatibili
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Come si classifica il problema del commesso viaggiatore?

  1. ALa versione decisionale è NP-completa e la versione di ottimizzazione è NP-difficile
  2. BÈ indecidibile
  3. CLa versione decisionale è in P ma quella di ottimizzazione è NP-completa
  4. DÈ in P perché l'algoritmo di Dijkstra lo risolve visitando ogni città una sola volta
3.Strutture datiMedia

Qual è il valore dell'espressione postfissa 3 4 + 2 * ?

  1. A10
  2. B11
  3. C14
  4. D24
4.Strutture datiDifficile

Quali sono i costi in tempo e in spazio aggiuntivo dell'inversione sul posto di una lista concatenata semplice?

  1. ATempo O(1) e spazio aggiuntivo O(1)
  2. BTempo O(n) e spazio aggiuntivo O(n)
  3. CTempo O(n) e spazio aggiuntivo O(1)
  4. DTempo O(n log n) e spazio aggiuntivo O(1)
5.Teoria dei grafiMedia

Un grafo connesso ha 10 vertici e 19 lati. Quanti lati k vanno tolti per ottenere un albero di copertura?

|V| = 10|E| = 19
k =
6.Teoria dei grafiDifficile
114139131411413ABCDEF

Usa l’algoritmo di Dijkstra per trovare la lunghezza d(F) del cammino minimo da A a F nel grafo pesato.

partenza: Aarrivo: F
d(F) =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: D · Scegliere l'attività che termina prima, poi ripetere con quelle compatibili

Perché è questa la risposta

Si può dimostrare con un argomento di scambio che scegliere il tempo di fine più precoce è ottimo; le altre regole hanno controesempi.

Risposta

D · Scegliere l'attività che termina prima, poi ripetere con quelle compatibili
2.Algoritmi e complessità

Risposta: A · La versione decisionale è NP-completa e la versione di ottimizzazione è NP-difficile

Perché è questa la risposta

"Esiste un giro di lunghezza al massimo k?" è NP-completo; trovare il giro più breve è NP-difficile, perché è almeno altrettanto difficile.

Risposta

A · La versione decisionale è NP-completa e la versione di ottimizzazione è NP-difficile
3.Strutture dati

Risposta: C · 14

Perché è questa la risposta

Push di 3 e 4, + dà 7; push di 2, * dà 7 × 2 = 14.

Risposta

C · 14
4.Strutture dati

Risposta: C · Tempo O(n) e spazio aggiuntivo O(1)

Perché è questa la risposta

Mantenendo tre puntatori (precedente, corrente, successivo) si può invertire ogni collegamento in un solo passaggio senza allocare nuovi nodi.

Risposta

C · Tempo O(n) e spazio aggiuntivo O(1)
5.Teoria dei grafi

Risposta: k = 10

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Lati di un albero di copertura

10 − 1 = 9

Lati da togliere

k = 19 − 9 = 10

Risposta

k = 10
6.Teoria dei grafi

Risposta: d(F) = 11

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Dijkstra passo per passo

Ogni riga: il vertice fissato, la sua distanza definitiva e i vertici adiacenti la cui distanza migliora.

A (0): B: 1, C: 14
B (1): D: 10, E: 14
D (10): F: 11
F (11)
C (14)
E (14)

Cammino minimo

A → B → D → F
d(F) = 11

Risposta

d(F) = 11

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