Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Qual è la soluzione della ricorrenza T(n) = 2T(n/2) + O(1)?

  1. AO(n²)
  2. BO(log n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n)
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Come si classifica il problema del commesso viaggiatore?

  1. AÈ in P perché l'algoritmo di Dijkstra lo risolve visitando ogni città una sola volta
  2. BÈ indecidibile
  3. CLa versione decisionale è in P ma quella di ottimizzazione è NP-completa
  4. DLa versione decisionale è NP-completa e la versione di ottimizzazione è NP-difficile
3.Strutture datiMedia

Un nodo di un albero binario di ricerca ha un sottoalbero destro. Dove si trova il suo successore in ordine?

  1. ANel suo figlio destro, sempre
  2. BNel nodo più a destra del suo sottoalbero sinistro
  3. CNel nodo più a sinistra del suo sottoalbero destro
  4. DNel suo genitore, sempre
4.Strutture datiDifficile

Qual è il tempo di esecuzione della visita in ampiezza (BFS) su un grafo con V vertici memorizzato come matrice di adiacenza?

  1. AO(V)
  2. BO(E log V)
  3. CO(V²)
  4. DO(V + E)
5.Teoria dei grafiMedia

Un grafo connesso ha 20 vertici e 20 lati. Quanti lati k vanno tolti per ottenere un albero di copertura?

|V| = 20|E| = 20
k =
6.Teoria dei grafiDifficile
1018152117168117ABCDEFG

L’algoritmo di Prim costruisce un albero di copertura minimo a partire dal vertice B. Clicca il lato che aggiunge come lato numero 5.

partenza: Bk = 5
  1. 1lato AB
  2. 2lato AC
  3. 3lato BC
  4. 4lato CE
  5. 5lato DE
  6. 6lato DF
  7. 7lato EF
  8. 8lato GB
  9. 9lato GC
  10. 10lato GE

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: D · O(n)

Perché è questa la risposta

Per il teorema dell'esperto (master theorem) nlog₂ 2 = n domina il lavoro costante, quindi T(n) = Θ(n), come quando si trova il massimo dividendo a metà.

Risposta

D · O(n)
2.Algoritmi e complessità

Risposta: D · La versione decisionale è NP-completa e la versione di ottimizzazione è NP-difficile

Perché è questa la risposta

"Esiste un giro di lunghezza al massimo k?" è NP-completo; trovare il giro più breve è NP-difficile, perché è almeno altrettanto difficile.

Risposta

D · La versione decisionale è NP-completa e la versione di ottimizzazione è NP-difficile
3.Strutture dati

Risposta: C · Nel nodo più a sinistra del suo sottoalbero destro

Perché è questa la risposta

Tutte le chiavi maggiori vicine al nodo si trovano nel suo sottoalbero destro, e la più piccola di queste è il nodo più a sinistra di quel sottoalbero.

Risposta

C · Nel nodo più a sinistra del suo sottoalbero destro
4.Strutture dati

Risposta: C · O(V²)

Perché è questa la risposta

Ognuno dei V vertici scorre una riga di V elementi, per un totale di O(V²); con le liste di adiacenza la BFS è O(V + E).

Risposta

C · O(V²)
5.Teoria dei grafi

Risposta: k = 1

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Lati di un albero di copertura

20 − 1 = 19

Lati da togliere

k = 20 − 19 = 1

Risposta

k = 1
6.Teoria dei grafi

Risposta: lato DE

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Algoritmo di Prim

1. GB (8)
2. GC (1)
3. CE (2)
4. AB (10)
5. DE (11)
6. DF (7)

lato numero 5

DE

Risposta

lato DE

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