Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Quale algoritmo trova i cammini minimi da una sorgente in un grafo con pesi degli archi non negativi?

  1. AVisita in profondità (DFS)
  2. BBellman-Ford è necessario in tutti i casi
  3. CAlgoritmo di Dijkstra
  4. DAlgoritmo di Kruskal
2.Algoritmi e complessitàDifficile

L'ordinamento topologico è possibile solo per:

  1. AGrafi completi
  2. BGrafi con pesi negativi
  3. CGrafi orientati aciclici (DAG)
  4. DGrafi non orientati
3.Strutture datiMedia

Una visita in ordine (in-order) di un albero binario di ricerca visita le chiavi in:

  1. AOrdine per livelli
  2. BOrdine di inserimento
  3. COrdine sempre decrescente
  4. DOrdine crescente
4.Strutture datiDifficile

Un array dinamico raddoppia quando è pieno. Perché molte implementazioni lo riducono solo quando è pieno per un quarto, e non per metà?

  1. APer mantenere l'array ordinato
  2. BPer evitare ridimensionamenti ripetuti quando push e pop si alternano vicino alla soglia
  3. CPerché l'allocatore di memoria può liberare memoria solo a quarti di blocco
  4. DPerché dimezzare a metà farebbe perdere elementi
5.Teoria dei grafiMedia
ABCDECircuito eulerianoCammino euleriano, nessun circuitonessuna delle due

Il grafo connesso ha un circuito euleriano, un cammino euleriano che non è un circuito, oppure nessuno dei due? Clicca la tua risposta.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Cammino euleriano, nessun circuito
  3. 3nessuna delle due
6.Teoria dei grafiDifficile
1321113613552ABCDEF

L’algoritmo di Dijkstra parte da A. Clicca il vertice che viene fissato (reso permanente) al passo 4; A stesso è il passo 1.

partenza: Apasso 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: C · Algoritmo di Dijkstra

Perché è questa la risposta

L'algoritmo di Dijkstra funziona con pesi non negativi; Bellman-Ford gestisce pesi negativi; Kruskal costruisce alberi ricoprenti minimi.

Risposta

C · Algoritmo di Dijkstra
2.Algoritmi e complessità

Risposta: C · Grafi orientati aciclici (DAG)

Perché è questa la risposta

Un ordinamento topologico esiste se e solo se il grafo orientato non ha cicli; si può trovare in O(V + E) con la DFS o con l'algoritmo di Kahn.

Risposta

C · Grafi orientati aciclici (DAG)
3.Strutture dati

Risposta: D · Ordine crescente

Perché è questa la risposta

Visitare il sottoalbero sinistro, poi il nodo e poi il sottoalbero destro restituisce le chiavi del BST in ordine.

Risposta

D · Ordine crescente
4.Strutture dati

Risposta: B · Per evitare ridimensionamenti ripetuti quando push e pop si alternano vicino alla soglia

Perché è questa la risposta

Ridurre a metà potrebbe provocare un ridimensionamento a ogni operazione in una sequenza del genere; il margine tra 1/4 e pieno mantiene il costo ammortizzato O(1).

Risposta

B · Per evitare ridimensionamenti ripetuti quando push e pop si alternano vicino alla soglia
5.Teoria dei grafi

Risposta: Circuito euleriano

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Gradi

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Vertici dispari

0
Circuito euleriano

Risposta

Circuito euleriano
6.Teoria dei grafi

Risposta: B

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Dijkstra passo per passo

1. A (0): B: 13, C: 2
2. C (2): E: 8
3. E (8): D: 21, F: 13, B: 10
4. B (10)
5. F (13): D: 18
6. D (18)

passo 4

B

Risposta

B

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