Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano: Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Grafo regolare: |E| = n·k/2
Albero e foresta: |E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero: circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in K_n: (n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L: (Mᴸ)_ij

Metodo

Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Qual è la soluzione della ricorrenza T(n) = 2T(n/2) + O(1)?

AO(n²)
BO(n)
CO(log n)
DO(n log n)

2.Algoritmi e complessitàDifficile

Perché l'algoritmo di Dijkstra può dare risultati errati quando alcuni pesi degli archi sono negativi?

AI numeri negativi non si possono memorizzare in una coda di priorità
BUn vertice viene considerato definitivo quando è estratto, ma un arco negativo successivo potrebbe ancora dargli un cammino più breve
CEntra in un ciclo infinito a ogni arco negativo
DFunziona solo sui grafi non orientati

3.Strutture datiMedia

Quale struttura dati si usa per verificare se le parentesi in "{[()]}" sono bilanciate?

AUn albero binario di ricerca
BUna tabella hash
CUna coda
DUna pila

4.Strutture datiDifficile

Devi conservare i k valori più piccoli di un flusso di n numeri usando O(k) memoria. Quale approccio funziona in tempo O(n log k)?

AUn min-heap che contiene tutti gli n valori, da cui alla fine si estraggono i k più piccoli
BUna coda FIFO degli ultimi k valori
CUn array ordinato di tutti gli n valori
DUn max-heap di dimensione k, di cui si sostituisce la radice quando arriva un valore più piccolo

5.Teoria dei grafiMedia

Il grafo connesso ha un circuito euleriano, un cammino euleriano che non è un circuito, oppure nessuno dei due? Clicca la tua risposta.

|V| = 5|E| = 6

1Circuito euleriano
2Cammino euleriano, nessun circuito
3nessuna delle due

6.Teoria dei grafiDifficile

L’algoritmo di Prim costruisce un albero di copertura minimo a partire dal vertice B. Clicca il lato che aggiunge come lato numero 2.

partenza: Bk = 2

1lato AB
2lato AC
3lato BC
4lato BD
5lato CE
6lato DE
7lato BE

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: B · O(n)

Perché è questa la risposta

Per il teorema dell'esperto (master theorem) n^{log₂ 2} = n domina il lavoro costante, quindi T(n) = Θ(n), come quando si trova il massimo dividendo a metà.

Risposta

B · O(n)

2.Algoritmi e complessità

Risposta: B · Un vertice viene considerato definitivo quando è estratto, ma un arco negativo successivo potrebbe ancora dargli un cammino più breve

Perché è questa la risposta

Il passo greedy si basa su pesi non negativi perché le distanze estratte siano definitive; quando i pesi possono essere negativi si usa Bellman–Ford.

Risposta

B · Un vertice viene considerato definitivo quando è estratto, ma un arco negativo successivo potrebbe ancora dargli un cammino più breve

3.Strutture dati

Risposta: D · Una pila

Perché è questa la risposta

Si inserisce (push) ogni parentesi aperta e si estrae (pop) quando compare una parentesi chiusa; questa deve corrispondere a quella estratta e alla fine la pila deve essere vuota.

Risposta

D · Una pila

4.Strutture dati

Risposta: D · Un max-heap di dimensione k, di cui si sostituisce la radice quando arriva un valore più piccolo

Perché è questa la risposta

La radice del max-heap è il più grande valore conservato; ogni nuovo valore più piccolo la sostituisce in O(log k), quindi l'heap contiene sempre i k valori più piccoli visti finora.

Risposta

D · Un max-heap di dimensione k, di cui si sostituisce la radice quando arriva un valore più piccolo

5.Teoria dei grafi

Risposta: Circuito euleriano

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; K_n ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Gradi

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Vertici dispari

Circuito euleriano

Risposta

Circuito euleriano

6.Teoria dei grafi

Risposta: lato CE

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Algoritmo di Prim

1. BC (7)

2. CE (3)

3. DE (2)

4. AC (6)

lato numero 2

Risposta

lato CE

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